Adição e subtração de ângulos

As medidas de ângulos nem sempre são quantidades inteiras, podemos ter, por exemplo, um ângulo com medida entre 90° e 91°. Para esses casos, são utilizados os submúltiplos do grau.

As operações entre medidas de ângulos, como adição e subtração, podem envolver tais submúltiplos. Dessa forma, é necessário entender o que eles são e como se relacionam.

Submúltiplos do grau

Os submúltiplos do grau são os minutos e segundos, essas duas unidades expressam quantidades menores que um grau.

O grau, os minutos e segundos se relacionam da seguinte forma:

• 1 grau = 60 minutos
• 1 minuto = 60 segundos

É comum utilizar símbolos para graus (°), minutos (‘) e segundos (“). Assim, de forma equivalente, temos:

• 1° = 60′
• 1′ = 60″

Exemplo: Utilize os submúltiplos do grau para expressar um ângulo de 45,5°.

45,5° é o ângulo que está exatamente no meio dos ângulos de 45° e 46°, ou seja, são 45° mais metade de um grau.

Como 1 grau é 60 minutos, então, metade de 1 grau é 30 minutos:

1° = 60′ ⇒ 0,5° = 30′

Portanto, 45,5° = 45°30′.

Lê-se: 45 graus e 30 minutos.

Adição de ângulos

Para fazer a adição de ângulos, somamos segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Depois, simplificamos os resultados. Se após a adição tivermos:

• 60 segundos ou mais ⇒ transformamos para minutos;
• 60 minutos ou mais ⇒ transformamos para graus.

Exemplo: Adicione as medidas de ângulos.

a) 35° 20′ 10″ + 15° 30′ 8″

,,,35° 20′ 10″
+15° 30′  8″
,,50° 50′ 18″

Portanto:

35° 20′ 10″ + 15° 30′ 8″ =  50° 50′ 18″

b) 90° 60′ + 5° 70′ 85″

,,90°  60′  00″
+5°   70′   85″
95° 130′  85″

Nesse caso, devemos simplificar o resultado.

Começamos sempre pelos segundos:  95° 130′  85″

85″ = 60″ + 15″ = 1′ + 15″ = 1′ 15″  ⇒ 95° 130′  85″ = 95° 131′ 15″

Agora, vamos para os minutos: 95°131′15″

131′ = 60′ + 60′ + 10′ = 1° + 1° + 10′ = 2°10′ ⇒ 95°131’15” = 97°10’15”

Portanto:

90° 60′ + 5° 70′ 85″ =  97° 10′ 15″

Subtração de ângulos

Para fazer a subtração de ângulos, subtraímos segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus.

Sempre que for preciso “tomar emprestado”, devemos lembrar das relações entre os submúltiplos.

Exemplo: Calcule as subtrações entre medidas de ângulos.

a) 40° 28′ 12″ – 10° 13′ 6″

,,40° 28′ 12″
-10° 13′  6″
,30° 15′  6″

Portanto:

40° 28′ 12″ – 10° 13′ 6″ = 30° 15′  6″
,,

b) 90° 25′ – 75° 20′ 30″

,,90°  25′  00″
-75°  20′  30″

,,,,,,,,,,,,,?

Não podemos subtrair 30 de 0. Nesse caso, precisamos “tomar emprestado” da casa dos minutos.

1′ = 60″ ⇒ a casa dos segundos vai receber 1′ emprestado, o que corresponde a receber 60″ emprestados.

,,90°  24′  60″
-75°  20′  30″
,15°  4′    30″

Portanto:

90° 25′ – 75° 20′ 30″ = 15° 4′ 30″

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