Exercícios sobre distância entre dois pontos

Quando calculamos a distância entre dois pontos, o que estamos calculando é o tamanho de um segmento de reta que liga os dois pontos e que corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo.

Assim, a fórmula da distância entre dois pontos  deriva do Teorema de Pitágoras e é dada por:

A seguir, temos uma lista de exercícios resolvidos sobre distância entre dois pontos.

Lista de exercícios sobre distância entre dois pontos

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Questão 1. Calcule a distância entre os pontos (-5, 3) e (4, 3).

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Questão 2. Calcule a distância entre os pontos (-2, 5) e (-2, 1).

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Questão 3. Calcule a distância entre os pontos (0,-4) e (1, 1) .

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Questão 4. Calcule a distância entre os pontos H e U na figura abaixo.

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Questão 5. A distância entre os pontos (2, 3) e (5, y) é igual a 5. Determine os possíveis valores de y.

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Questão 6. Encontre um ponto da reta 4x – 8y + 7 = 0 que equidista dos pontos A(1, – 3) e B(2, 1).

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Questão 7. Um dos extremos de um segmento de reta que mede 17 unidades é o ponto A(1, -11). Sabendo que a ordenada do outro extremo é 4, encontre sua abscissa.

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Resolução da questão 1

Temos os pontos (-5, 3) e (4, 3). Observe que o valor de y é o mesmo nos dois. Assim, trata-se de uma distância horizontal, que pode ser obtida subtraindo os valores de x e aplicando o módulo:

|4 – (-5)| = |9| = 9

Assim, como podemos aplicar a fórmula e encontrar o mesmo resultado:

Resolução da questão 2

Temos os pontos (-2, 5) e (-2, 1). Veja que o valor de x é o mesmo nos dois. Desse modo, trata-se de uma distância vertical, que pode ser obtida subtraindo os valores de y e aplicando o módulo:

|1 – 5| = |-4| = 4

Assim, como podemos aplicar a fórmula e encontrar o mesmo resultado:

Resolução da questão 3

Para determinar a distância entre os pontos (0,-4) e (1, 1), vamos aplicar a fórmula da distância entre dois pontos:

Resolução da questão 4

Observando a figura, podemos ver que os pontos são H(2, -4) e U (-3, 2). Vamos aplicar a fórmula da distância:

Resolução da questão 5

Temos d = 5 e os pontos (2, 3)e (5, y). Então, pela fórmula da distância, temos:

Temos uma equação do 2° grau, que pode ser resolvida através da fórmula de Bhaskara.

Cálculo de delta:

Cálculo de y:

Portanto, os possíveis valores de y são -1 e 7.

Resolução da questão 6

Considere que P(x, y) é o ponto da reta que queremos encontrar.

Utilizando a fórmula da distância, temos que a distância do ponto P ao ponto A é:

E a distância do ponto P ao ponto B é:

Dizer que o ponto P equidista dos pontos, significa dizer que a distância de P até o ponto A é igual a distância de P até o ponto B. Assim, temos que:

Chegamos na equação de uma reta : -2x – 8y -5 = 0. Isso significa que o ponto P(x, y) além de pertencer à reta 4x – 8y + 7 = 0, também deve pertencer à reta -2x – 8y -5 = 0.

Assim, devemos encontrar os valores de x e y que satisfaçam essas duas equações ao mesmo tempo, isto é, temos que resolver um sistema de duas equações.

Multiplicando a segunda equação por (-1), temos que:

Somando as duas equações:

6x + 0 + 12 = 0
6x = -12
x = -12/6
x = -2

Substituindo o valor de x por -2 na 1° equação, temos que:

4x – 8y + 7 = 0
4.(-2) – 8y + 7 = 0
-8 -8y + 7 = 0
-8y = 1
y = -1/8

Portanto, o ponto as coordenadas do ponto são P(-2, -1/8).

Resolução da questão 7

Temos um segmento de reta de tamanho d = 17 com extremos nos pontos A(1, -11) e B(x, 4), onde x corresponde à abscissa que queremos encontrar.

Então, basta aplicar esses valores na fórmula da distância entre dois pontos.

Temos uma equação do 2° grau, que pode ser resolvida através da fórmula de Bhaskara.

Cálculo de delta:

Cálculo de x:

Assim, existem dois possíveis valores para a abscissa x, pode ser -7 ou 9.

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