Funções trigonométricas – Seno, cosseno e tangente

Entenda o que é o círculo trigonométrico e conheça as principais funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente.

Por Elainy Marciano Publicado em 17/02/2020 - 13:04

As funções trigonométricas são funções que possuem um padrão de repetição, ou seja, o comportamento da função se repete após um período. Por isso, tais funções são funções periódicas.

As principais funções periódicas são:

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Função seno
Função cosseno
Função tangente

O período dessas três funções se limita a uma volta completa no círculo trigonométrico.

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, centrada no ponto (0,0) do plano cartesiano. Essa circunferência é usada para a representação de ângulos e radianos.

No círculo trigonométrico, o eixo x é chamado de eixo dos cossenos e o eixo y de eixo dos senos.

Qualquer ângulo $\dpi{120} \mathbf{\alpha}$ está associado a um ponto P(x, y) da circunferência, sendo que:

A abscissa do ponto P é o cosseno ( $\dpi{120} \alpha$ );
A ordenada do ponto P é o seno ( $\dpi{120} \alpha$ ).

Desse modo, para cada ângulo $\dpi{120} \alpha$ , vamos ter um ponto P marcado na circunferência.

Considere, por exemplo, um ângulo $\dpi{120} \alpha$ de 30º. Temos que:

$\dpi{120} cos (30^{\circ}) = cos \Big( \frac{\pi}{6} \Big) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\dpi{120} seno (30^{\circ}) = seno \Big( \frac{\pi}{6} \Big) = \frac{1}{2}$ .

Então, associado ao ângulo de 30º, teremos no círculo trigonométrico, o ponto

P( cos( $\dpi{120} \alpha$ ), sen ( $\dpi{120} \alpha$ ) ) = $\dpi{120} \Big(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \Big)$ .

Veja a seguir, como fica o círculo trigonométrico considerando os ângulos notáveis e seus respectivos pontos.

Função seno

Definição: A função seno é definida como a função $\dpi{120} \textnormal{f}: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , que associa a cada número real $\dpi{120} \textnormal{x}$ , o seu seno.

$\dpi{120} \textnormal{f(x) = sen(x)}$

Domínio: O domínio da função seno é o conjunto dos números reais.

$\dpi{120} \textnormal{D}=\mathbb{R}$

Imagem: A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1], ou seja, $\dpi{120} -1 \leq \textnormal{sen(x)}\leq 1$ .

$\dpi{120} \textnormal{Im}=[-1,1]$

Paridade: A função $\dpi{120} \textnormal{f(x) = sen(x)}$ é uma função ímpar, pois $\dpi{120} \textnormal{ sen(-x)= - sen(x)}$

Período: O período da função seno é $\dpi{120} 2 \pi$ , ou seja, é uma volta completa no círculo trigonométrico.

Gráfico da função seno

Considerando apenas os valores de x entre 0 e $\dpi{120} 2 \pi$ , que é o período da função, o gráfico da função $\dpi{120} \textnormal{f(x) = sen(x)}$ é:

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2.ed. 2013.

Essa curva é chamada de senóide e corresponde a uma volta completa no círculo trigonométrico.

Observe que os radianos são marcados no eixo x e os pontos da circunferência no eixo y. Através desse gráfico, podemos visualizar o sinal e o comportamento da função seno.

Sinal da função seno:

Positiva (+) de 0 a $\dpi{120} \pi$ .
Negativa (–) de $\dpi{120} \pi$ a 2 $\dpi{120} \pi$ ;

Comportamento da função seno:

Crescente (⇑) de 0 a $\dpi{120} \frac{\pi}{2}$ ;
Decrescente de (⇓) de $\dpi{120} \frac{\pi}{2}$ a $\dpi{120} \frac{3 \pi}{2}$ ;
Crescente (⇑) de $\dpi{120} \frac{3 \pi}{2}$ a 2 $\dpi{120} \pi$ .

Projetando essas informações no círculo trigonométrico, podemos ver o que acontece com a função seno em cada quadrante do plano cartesiano:

Função cosseno

Definição: A função cosseno é definida como a função $\dpi{120} \textnormal{f}: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , que associa a cada número real $\dpi{120} \textnormal{x}$ , o seu cosseno. $\dpi{120} \textnormal{f(x) = cos(x)}$

Domínio: O domínio da função cosseno é o conjunto dos número reais.

$\dpi{120} \textnormal{D}=\mathbb{R}$

Imagem: A imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1], ou seja, $\dpi{120} -1 \leq \textnormal{cos(x)}\leq 1$ .

$\dpi{120} \textnormal{Im}=[-1,1]$

Paridade: A função $\dpi{120} \textnormal{f(x) = cos(x)}$ é uma função par, pois $\dpi{120} \textnormal{ cos(-x)= cos(x)}$ .

Período: O período da função cosseno é $\dpi{120} 2 \pi$ , ou seja, é uma volta completa no círculo trigonométrico.

Gráfico da função cosseno

Considerando apenas os valores de x entre 0 e $\dpi{120} 2 \pi$ , que é o período da função, o gráfico da função $\dpi{120} \textnormal{f(x) = cos(x)}$ é:

grafico função cosseno — Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2.ed. 2013.

Essa curva é chamada de cossenóide.

Sinal da função cosseno:

Positiva (+) de 0 a $\dpi{120} \frac{\pi}{2}$ ;
Negativa (–) de $\dpi{120} \frac{\pi}{2}$ a $\dpi{120} \frac{3\pi}{2}$ ;
Positiva (+) de $\dpi{120} \frac{3\pi}{2}$ a 2 $\dpi{120} \pi$ .

Comportamento da função cosseno:

Decrescente de (⇓) de 0 a $\dpi{120} \pi$ ;
Crescente (⇑) de $\dpi{120} \pi$ a 2 $\dpi{120} \pi$ .

Projetando essas informações no círculo trigonométrico, podemos ver o que acontece com a função cosseno em cada quadrante do plano cartesiano:

Função tangente

Definição: A função tangente é definida como a função f que associa a tangente de cada número real $\dpi{120} \textnormal{x}$ , com $\dpi{120} \textnormal{x}\neq \pi/2 + k\pi, k \ \epsilon \ \mathbb{Z}$ .

$\dpi{120} \textnormal{f(x) = tan(x)}$

Domínio: O domínio da função tangente é o conjunto:

$\dpi{120} \textnormal{D} = \{ \mathbb{R}| \textnormal{x}\neq \pi/2 + k\pi, k \ \epsilon \ \mathbb{Z} \}$

Imagem: A imagem da função tangente é conjunto dos números reais.

$\dpi{120} \textnormal{Im}=\mathbb{R}$

Paridade: A função $\dpi{120} \textnormal{f(x) = tan(x)}$ é uma função ímpar, pois $\dpi{120} \textnormal{ tan(-x)= - tan(x)}$ .

Período: O período da função tangente é $\dpi{120} \pi$ , ou seja, é metade da volta no círculo trigonométrico.

Gráfico da função tangente:

Cada curva é chamada de tangentóide.

Sinal da função tangente:

Positiva (+) de 0 a $\dpi{120} \frac{\pi}{2}$ ;
Negativa (–) de $\dpi{120} \frac{\pi}{2}$ a $\dpi{120} \pi$ .
Positiva (+) de $\dpi{120} \pi$ a $\dpi{120} \frac{3\pi}{2}$ ;
Negativa (–) de $\dpi{120} \frac{3\pi}{2}$ a 2 $\dpi{120} \pi$ .

Comportamento da função tangente:

Crescente (⇑) de 0 a 2 $\dpi{120} \pi$ , ou seja, em todo o círculo trigonométrico.

Projetando essas informações no círculo trigonométrico, podemos ver o que acontece com a função tangente em cada quadrante do plano cartesiano:

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