Como fazer o gráfico da função do segundo grau

O gráfico de uma função do 2° grau é uma parábola. Aprenda a encontrar os pontos notáveis da parábola para construir o gráfico.

Por Elainy Marciano Publicado em 29/05/2020 - 16:30

O gráfico de uma função y = f(x) corresponde a representação, no plano cartesiano, dos pares ordenados (x,y) que pertencem à função. Para uma função do 2° grau, o gráfico corresponde a uma parábola.

Podemos construir o gráfico da função do 2° grau, atribuindo uma porção de valores para x, substituindo na função e calculando o valor de y correspondente. Em seguida, marcamos cada um dos pares ordenados (x,y) que calculamos e traçamos a parábola.

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No entanto, se soubermos apenas a concavidade e alguns pontos-chaves da parábola, já podemos traçar o gráfico da função do 2° grau.

Esses pontos-chaves da parábola também são chamados de pontos notáveis, eles são: o vértice e os pontos de intersecção com os eixos x e y.

Gráfico de uma função do 2° grau

Para explicar como fazer o gráfico de uma função do 2° grau, vamos mostrar alguns exemplos.

Exemplo 1) Construir o gráfico da seguinte função do 2° grau:

f(x) = x² – 4x + 5

Coeficientes da função:

Temos a = 1, b = -4 e c = 5.

Concavidade da parábola:

Como o coeficiente a é um número positivo, então a concavidade é para cima.

Intercepto com o eixo x:

$\dpi{120} \bg_white \Delta \mathrm{= b^2 - 4ac} = (-4)^2 - 4.1.5 = 16-20 = -4$

Como $\dpi{120} \bg_white \Delta <0$ , não existem raízes reais para essa função. Assim, a parábola não intercepta o eixo x.

Intercepto com o eixo y:

f(0) = 0² – 4.0 + 5 = 5

Logo, o ponto de intercepto da parábola com o eixo y é o ponto (0,5).

Vértice da parábola:

As coordenadas do vértice da parábola podem ser calculadas da seguinte forma:

$\dpi{120} \mathrm{x_v = \frac{-b}{2a}= \frac{4}{2} = 2}$

$\dpi{120} \bg_white \mathrm{y_v = \frac{-\Delta }{4a} = \frac{4}{4}=1}$

Assim, o vértice da parábola é o ponto V(2,1).

Para fazer o gráfico, marcamos os pontos (0,5) e (2,1) e traçamos uma parábola côncava para cima com vértice no ponto (2,1) e passando pelo ponto (0,5).

Exemplo 2) Construir o gráfico da seguinte função do 2° grau:

f(x)= -2x² + 3x + 2

Coeficientes da função:

Temos a = -2, b = 3 e c = 2.

Concavidade da parábola:

Como o coeficiente a é um número negativo, então a concavidade é para baixo.

Intercepto com o eixo x:

$\dpi{120} \bg_white \Delta \mathrm{= b^2 - 4ac} = 3^2 - 4.(-2).2 = 9+16 = 25$

Como $\dpi{120} \bg_white \Delta >0$ , existem duas raízes reais diferentes para essa função. Assim, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

Para encontrar esses pontos, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara.

$\dpi{120} \mathrm{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2.(-2)} = \frac{-3 \pm5}{-4}}$

De onde obtemos: $\dpi{120} \mathrm{x_ 1 = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -0,5}$ e $\dpi{120} \mathrm{x_2 = \frac{-3-5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2}$ .

Assim, a parábola intercepta o eixo x nos pontos (-0,5, 0) e (2,0).

Intercepto com o eixo y:

f(0) = -20² + 3.0 + 2 = 2

Logo, o ponto de intercepto da parábola com o eixo y é o ponto (0,2).

Vértice da parábola:

$\dpi{120} \mathrm{x_v = \frac{-3}{2(-2)}= \frac{-3}{-4} = 0,75}$

$\dpi{120} \bg_white \mathrm{y_v = \frac{-\Delta }{4a} = \frac{-25}{4.(-2)}=\frac{-25}{-8} = 3,13}$

Assim, o vértice da parábola é o ponto V(0,75; 3,13).

Para fazer o gráfico, marcamos os pontos (-0,5; 0), (2,0), (0,2) e (0,75; 3,13) e traçamos uma parábola côncava para baixo com vértice no ponto (0,75; 3,13) e passando pelos pontos (-0,5; 0), (2,0) e (0,2).

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