Sinais de uma equação do 2° grau

Saiba o que é e como estudar os sinais de uma função do 2° grau utilizando apenas o gráfico da parábola.

Uma função do 2° grau é qualquer função da forma f(x) = ax² + bx + c = 0, com a, b e c sendo números reais e a diferente de zero.

Estudar os sinais de uma função do 2° grau significa dizer para quais valores de x a função é positiva, negativa ou igual a zero.

Desse modo, precisamos identificar quais são os valores de x onde temos:

f(x) > 0 → função positiva

f(x) < 0 → função negativa

f(x) = 0 → função nula

Mas como podemos saber isso? Uma das formas de estudar o sinal de uma função do 2° grau é por meio do seu gráfico, que é uma parábola.

Sinais de uma função do 2° grau a partir do gráfico

No plano cartesiano, f(x) > 0 corresponde a parte da parábola que está acima do eixo x, f(x) = 0 a parte da parábola que intercepta o eixo x e f(x) < 0, a parte da parábola que está abaixo do eixo x.

Então, só precisamos fazer um esboço da parábola para identificar os sinais da função. O esboço é feito simplesmente sabendo qual a concavidade da parábola e se ela intercepta ou não o eixo x, e se intercepta, em quais pontos isso acontece.

Podemos ter seis casos diferentes.

Caso 1) Sinais de uma função do 2° grau com duas raízes \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1} e \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2} distintas e concavidade da parábola voltada para cima.

Sinais da função do 2° grau

A partir do gráfico, podemos identificar que:

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f(x) > 0, se\: \mathrm{x < x_1} \: ou\: \mathrm{x> x_2}} \\ \mathrm{f(x) = 0, \: se\: x = x_1 \: ou \: x= x_2}\\ \mathrm{f(x) < 0, \: se\: x_1 < x < x_2} {\color{White} 0000} \end{matrix}\right.

Caso 2) Sinais de uma função do 2° grau com duas raízes \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1} e \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2} distintas e concavidade da parábola voltada para baixo.

Sinais de uma função do 2° grau

A partir do gráfico, podemos identificar que:

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f(x) > 0, \: se\: x_1 < x < x_2} {\color{White} 0000} \\ \mathrm{f(x) = 0, \: se\: x = x_1 \: ou \: x= x_2}\\ \mathrm{f(x) < 0, se\: \mathrm{x < x_1} \: ou\: \mathrm{x> x_2}} \end{matrix}\right.

Caso 3) Sinais de uma função do 2° grau com duas raízes \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1} e \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2} iguais e concavidade da parábola voltada para cima.

Sinais de uma função do 2° grau

A partir do gráfico, podemos identificar que:

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f(x) = 0, \: se\: x = x_1}\\ \mathrm{f(x) > 0, se\: \mathrm{x \neq x_1 }} \end{matrix}\right.

Caso 4) Sinais de uma função do 2° grau com duas raízes \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1} e \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2} iguais e concavidade da parábola voltada para baixo.

Sinais de uma função do 2° grau

A partir do gráfico, podemos identificar que:

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f(x) = 0, \: se\: x = x_1}\\ \mathrm{f(x) < 0, se\: \mathrm{x \neq x_1 }} \end{matrix}\right.

Caso 5) Sinais de uma função do 2° grau sem raízes reais e concavidade da parábola voltada para cima.Sinais de uma função do 2° grau

Nesse caso, temos f(x) > 0 para qualquer x pertencente aos reais.

Caso 6) Sinais de uma função do 2° grau sem raízes reais e concavidade da parábola voltada para baixo.

Sinais de uma função do 2° grau

Nesse caso, temos f(x) < 0 para qualquer x pertencente aos reais.

Como verificar a concavidade da parábola

A concavidade da parábola pode ser determinada pelo valor do coeficiente a da função do 2° grau.

  • Se a > 0, então a parábola tem concavidade para cima;
  • Se a < 0 , então a parábola tem concavidade para baixo.

Como verificar se a parábola intercepta o eixo x

Verificar se a parábola intercepta ou não o eixo x, significa determinar se a função possui ou não raízes e, se possui, quais são elas. Podemos determinar isso, calculando o discriminante\dpi{120} \bg_white \Delta = b^2 - 4.a.c.

  • Se \dpi{120} \bg_white \Delta > 0 , a função tem duas raízes reais diferentes e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes.
  • Se \dpi{120} \bg_white \Delta = 0, a função tem duas raízes reais iguais, a parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
  • Se \dpi{120} \bg_white \Delta < 0, a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x, estando totalmente acima do eixo x se tiver concavidade para cima e totalmente abaixo do eixo x se tiver concavidade para baixo.

Nos dois primeiros casos em que existem raízes, elas podem ser calculadas a partir da fórmula de Bhaskara.

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