Exercícios sobre coeficientes e concavidade da parábola

Saiba como determinar características importantes de uma parábola com uma lista de exercícios resolvidos sobre os coeficientes de uma função do 2° grau e a concavidade de uma parábola.

Por Elainy Marciano Publicado em 03/06/2020 - 16:39

O gráfico de uma função do 2° grau, f(x) = ax² + bx + c, é uma parábola e os coeficientes a, b e c estão relacionados com características importantes da parábola, como a concavidade.

Além disso, as coordenadas do vértice de uma parábola são calculadas a partir de fórmulas que envolvem os coeficientes e o valor do discriminante delta.

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Por sua vez, o discriminante também é uma função dos coeficientes e a partir dele podemos identificar se a função do 2° grau possui ou não raízes e quais são elas, quando existem.

Como você pode ver, a partir dos coeficientes podemos entender melhor a forma de uma parábola. Para entender mais, veja uma lista de exercícios resolvidos sobre a concavidade da parábola e os coeficientes da função do 2° grau.

Lista de exercícios sobre coeficientes e concavidade da parábola

Questão 1. Determine os coeficientes de cada uma das seguintes funções do 2° grau e diga qual a concavidade da parábola.

a)f(x) = 8x² – 4x + 1

b) f(x) = 2x² + 3x + 5

c) f(x) = 4x² – 5

e) f(x) = -5x²

f) f(x) = x² – 1

Questão 2. A partir dos coeficientes das funções quadráticas abaixo determine o ponto de intercepto das parábolas com o eixo das ordenadas:

a) f(x) = x² – 2x + 3

b) f(x) = -2x² + 5x

c) f(x) = -x² + 2

d) f(x) = 0,5x² + 3x – 1

Questão 3. Calcule o valor do discriminante $\dpi{120} \bg_white \Delta$ e identifique se as parábolas interceptam o eixo das abscissas.

a) y = -3x² – 2x + 5

b) y = 8x² – 2x + 2

c) y = 4x² – 4x + 1

Questão 4. Determine a concavidade e o vértice de cada uma das parábolas a seguir:

a) y = x² + 2x + 1

b) y = x² – 1

c) y = -0,8x² -x + 1

Questão 5. Determine a concavidade da parábola, o vértice, os pontos de intercepto com os eixos e faça o gráfico da seguinte função quadrática:

f(x) = 2x² – 4x + 2

Resolução da questão 1

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

Coeficientes: a = 8, b = -4 e c = 1

Concavidade: para cima, pois a > 0.

b) f(x) = 2x² + 3x + 5

Coeficientes: a = 2, b = 3 e c = 5

Concavidade: para cima, pois a > 0.

c) f(x) = -4x² – 5

Coeficientes: a = -4, b = 0 e c = -5

Concavidade: para baixo, pois a < 0.

e) f(x) = -5x²

Coeficientes: a = -5, b = 0 e c = 0

Concavidade: para baixo, pois a < 0.

f) f(x) = x² – 1

Coeficientes: a = 1, b = 0 e c = -1

Concavidade: para cima, pois a > 0.

Resolução da questão 2

a) f(x) = x² – 2x + 3

Coeficientes: a= 1, b = -2 e c = 3

O ponto de intercepto com o eixo y é dado por f(0). Esse ponto corresponde exatamente ao coeficiente c da função quadrática.

Ponto de intercepto = c = 3

b) f(x) = -2x² + 5x

Coeficientes: a= -2, b = 5 e c = 0

Ponto de intercepto = c = 0

c) f(x) = -x² + 2

Coeficientes: a= -1, b = 0 e c = 2

Ponto de intercepto = c = 2

d) f(x) = 0,5x² + 3x – 1

Coeficientes: a= 0,5, b = 3 e c = -1

Ponto de intercepto = c = -1

Resolução da questão 3

a) y = -3x² – 2x + 5

Coeficientes: a = -3, b = -2 e c = 5

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta = b^2 - 4 . a. c = (-2)^2 - 4.(-3).5 = 64$

Como o discriminante é um valor maior que 0, então, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes.

b) y = 8x² – 2x + 2

Coeficientes: a = 8, b = -2 e c = 2

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta = b^2 - 4 . a. c = (-2)^2 - 4.8.2 = -60$

Como o discriminante é um valor menor que 0, então, a parábola não intercepta o eixo x.

c) y = 4x² – 4x + 1

Coeficientes: a = 4, b = -4 e c = 1

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta = b^2 - 4 . a. c = (-4)^2 - 4.4.1 =0$

Como o discriminante é igual a 0, então, a parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

Resolução da questão 4

a) y = x² + 2x + 1

Coeficientes: a= 1, b = 2 e c= 1

Concavidade: para cima, pois a > 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta = 2^2 - 4. 1. 1 =4 - 4 = 0$

Vértice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v = \frac{-\Delta }{4a} = 0$

V(-1,0)

b)y = x² – 1

Coeficientes: a= 1, b = 0 e c= -1

Concavidade: para cima, pois a > 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta = 0^2 - 4. 1. (-1) = 4$

Vértice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v = \frac{-b}{2a} = 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v = \frac{-\Delta }{4a} = \frac{-4}{4} = -1$

V(0,-1)

c) y = -0,8x² -x + 1

Coeficientes: a= -0,8, b = -1 e c= 1

Concavidade: para baixo, pois a < 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta = (-1)^2 - 4. (-0,8). 1 = 4,2$

Vértice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{-1,6} = -0,63$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v = \frac{-\Delta }{4a} = \frac{-4,2}{-3,2} = 1,31$

V(-0,63; 1,31)

Resolução da questão 5

f(x) = 2x² – 4x + 2

Coeficientes: a = 2, b = -4 e c = 2

Concavidade: para cima, pois a > 0

Vértice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v = \frac{-b}{2a}=\frac{4}{4} = 1$

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta = (-4)^2 -4. 2. 2 = 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v = \frac{-\Delta }{4a} = 0$

V(1,0)

Intercepto com o eixo y:

c = 2 ⇒ ponto (0, 2)

Intercepto com o eixo x:

Como $\dpi{120} \bg_white \Delta =0$ , então, a parábola intercepta o eixo x em um único ponto. Esse ponto corresponde as raízes (iguais) da equação 2x² – 4x + 2, que podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara: