Lista de exercícios de geometria analítica

Confira uma lista de exercícios de geometria analítica, todos com resolução. Questões de distância, ponto médio, equação da reta, coeficiente angular, e muito mais!

Por Elainy Marciano Publicado em 03/09/2020 - 18:01

Geometria analítica é uma parte da matemática que estuda as figuras geométricas a partir de expressões algébricas e usando um sistema de coordenadas.

Veja a seguir uma lista de exercícios de geometria analítica, todos com resolução, para que você possa entender o tipo de questões desse ramo da matemática.

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Lista de exercícios de geometria analítica

Questão 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(1,6) e B(5, 3).

Questão 2. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(-4,0) e B(7, -2).

Questão 3. O ponto M(1, -2) é o ponto médio do segmento de extremidades A( $\dpi{120} \mathrm{x_A, y_A}$ ) e B(-1, -5). Determine as coordenadas do ponto A.

Questão 4. Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo de vértices A(1, 2), B(4, 4) e C(5, 1).

Questão 5. A distância entre os pontos A(1,8) e B(x, -2) é 2√29. Determine a abscissa do ponto B.

Questão 6. Verifique se os pontos A(2, 1), B(4, 2) e C(6, 3) são pontos alinhados.

Questão 7. Os pontos A(-8, y), B(-2, -1) e C(1, -3) são alinhados. Encontre a ordenada do ponto A.

Questão 8. Escreva a equação reduzida e geral da reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(-4, -2).

Questão 9. Determine a equação da reta que passa por A(2, 3) e é paralela à reta 2x + y = -2.

Questão 10. (Enem 2018) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), 6(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0; 2).

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

A) x = 0
B) y = 0
C) x² + y² =16
D) x² + (y – 2)² = 4
E) (x – 2 )² + ( y – 2 )² = 8

Resolução da questão 1

Ponto médio $\dpi{120} \mathrm{M(x_m, y_m)}$ :

$\dpi{120} \mathrm{x_m = \frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+5}{2} =3}$

$\dpi{120} \mathrm{y_m = \frac{y_A+y_B}{2}=\frac{6+3}{2} =\frac{9}{2}}$

Então, o ponto médio é o ponto $\dpi{120} \mathrm{M\bigg(3, \frac{9}{2}\bigg)}$ .

Resolução da questão 2

Ponto médio $\dpi{120} \mathrm{M(x_m, y_m)}$ :

$\dpi{120} \mathrm{x_m = \frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-4+7}{2} =\frac{3}{2}}$

$\dpi{120} \mathrm{y_m = \frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0-2}{2} =-1}$

Então, o ponto médio é o ponto $\dpi{120} \mathrm{M\bigg(\frac{3}{2},-1\bigg)}$ .

Resolução da questão 3

$\dpi{120} \mathrm{x_m = \frac{x_A -1}{2} = 1\Rightarrow x_A - 1 = 2\Rightarrow x_A = 3}$

$\dpi{120} \mathrm{y_m = \frac{y_A -5}{2} = -2\Rightarrow y_A - 5 = -4\Rightarrow y_A = 1}$

Portanto, A(3, 1).

Resolução da questão 4

O baricentro (G) é o ponto de encontro das medianas do triângulo.

$\dpi{120} \mathrm{x_G = \frac{x_A+x_B + x_C}{3} = \frac{1+4+5}{3}=\frac{10}{3}}$

$\dpi{120} \mathrm{x_G = \frac{y_A+y_B + y_C}{3} = \frac{2+4+1}{3}=\frac{7}{3}}$

O baricentro é ponto $\dpi{120} \mathrm{G\bigg(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\bigg)}$ .

Resolução da questão 5

Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos.

$\dpi{120} \mathrm{d(A,B)=\sqrt{(x-1)^2+(-2-8)^2} = 2\cdot {\sqrt{29}}}$

$\dpi{120} \mathrm{\sqrt{(x-1)^2+(-2-8)^2} = {\sqrt{116}}}$

$\dpi{120} \mathrm{(x-1)^2+(-2-8)^2 = 116}$

$\dpi{120} \mathrm{x^2 - 2x + 1+100 -116=0}$

$\dpi{120} \mathrm{x^2 - 2x -15=0}$

Cálculo do discriminante:

$\dpi{120} \Delta =(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-15) = 64$

Fórmula de Bhaskara:

$\dpi{120} \mathrm{x = \frac{-(-2) \pm\sqrt{64} }{2} = \frac{2 \pm 8}{2}}$

$\dpi{120} \mathrm{x_1 = \frac{2+ 8}{2} = 5}$ e $\dpi{120} \mathrm{x_2 = \frac{2- 8}{2} = -3}$

Portanto, a abscissa do ponto B é 5 ou -3.

Resolução da questão 6

Os três pontos são alinhados se:

$\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 4& 2 & 1\\ 6& 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Então, vamos calcular o determinante pela Regra de Sarrus e ver se satisfaz essa condição:

$\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 4& 2 & 1\\ 6& 3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 4& 2\\ 6& 3 \end{vmatrix}$

(4 + 6 + 12) – (12 + 6 + 4) = 0

Como o determinante é igual a 0, então, os três são alinhados.

Resolução da questão 7

Se os três pontos são alinhados, então:

$\dpi{120} \begin{vmatrix} -8 & \mathrm{y} & 1\\ -2& -1 & 1\\ 1& -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Vamos resolver o determinante para encontrar o valor de y:

$\dpi{120} \begin{vmatrix} -8 & \mathrm{y} & 1\\ -2& -1 & 1\\ 1& -3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} -8 &\mathrm{y} \\ -2 & -1\\ 1& -3 \end{vmatrix} = 0$