Fatoração de polinômios

A fatoração de polinômios possibilita simplificar muitos cálculos algébricos. Conheça os métodos de fatoração e veja exemplos!

Por Elainy Marciano Publicado em 29/09/2020 - 17:49

A fatoração de polinômios possibilita simplificar muitos cálculos algébricos e tem o mesmo princípio básico da fatoração de números.

Por isso, recorde-se que fatorar um número é escrevê-lo como um produto entre dois ou mais números.

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Exemplos de fatoração de números:

45 = 3 . 3 . 5 = 3² . 5
8 = 2 . 2 . 2 = 2³
100 = 2 . 2 . 5 . 5 = 2² . 5²

De modo similar, fatorar um polinômio significa escrever o polinômio como um produto entre dois ou mais polinômios. Para isso, há alguns métodos de fatoração de polinômios que veremos a seguir.

Fatoração por fator comum em evidência

Os polinômios são formados pela adição algébrica de monômios.

Quando um número, uma variável ou até a multiplicação entre um número e uma variável aparece em mais de um monômio do polinômio, recebe o nome de termo comum.

Esse termo comum pode ser colocado em evidência. Veja como fazer isso em alguns exemplos.

Exemplo 1: Fatorar o polinômio $\dpi{120} \mathrm{4x^2 - 4}$ .

O termo comum é o número 4, então, a forma fatorada é:

$\dpi{120} \mathrm{4x^2 - 4 = 4\cdot (x^2 - 1)}$

Exemplo 2: Fatorar o polinômio $\dpi{120} \mathrm{12xy - x^2y}$

O termo comum é $\dpi{120} \mathrm{xy}$ , então, a forma fatorada é:

$\dpi{120} \mathrm{12xy - x^2y = xy\cdot (12 -x)}$

Exemplo 3: Fatorar o polinômio $\dpi{120} \mathrm{9a^2b - 3a^2b^2 + 6a^3b^2}$ .

Observe que $\dpi{120} \mathrm{9a^2b - 3a^2b^2 + 6a^3b^2 = 3.3.a^2.b - 3a^2b^2 + 2.3.a^3b^2}$ . Então, o termo comum é $\dpi{120} \mathrm{3a^2b}$ .

Assim, a forma fatorada do polinômio é:

$\dpi{120} \mathrm{9a^2b - 3a^2b^2 + 6a^3b^2= 3a^2b\cdot (3 - b + 2ab)}$

Fatoração por agrupamento

Em alguns polinômios, podemos formar grupos e colocar um termo em evidência em cada um desses grupos. Em seguida, podemos colocar um polinômio em evidência.

Exemplo: Fatorar o polinômio $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - ay + 3x^2 - 3y}$ .

Podemos formar dois grupos:

$\dpi{120} \mathrm{ (ax^2 + 3x^2) + (- ay - 3y)}$

Colocamos o termo em evidência em cada grupo:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a + 3) -y (a + 3)}$

Agora, colocamos o polinômio (a + 3) em evidência:

$\dpi{120} \mathrm{(a+3)\cdot (x^2 -y)}$

Portanto, a forma fatorada do polinômio é:

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 - ay + 3x^2 - 3y = (a+3)\cdot (x^2-y)}$

Os próximos métodos de fatoração de polinômios são baseados no uso de produtos notáveis.

Fatoração da diferença de dois quadrados

Quando o polinômio for uma diferença de dois quadrados, ele pode ser fatorado como o produto da soma das bases pela diferença das bases.

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) = (a +b)\cdot (a-b)}$

As bases são obtidas extraindo a raiz quadrada dos termos quadrados: $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{a^2}=a}$ e $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{b^2}=b}$ .

Exemplo: Fatorar o polinômio $\dpi{120} \mathrm{9x^2 - 16}$ .

Trata-se de uma diferença entre dois quadrados, cujas bases são: $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{9x^2} = 3x}$ e $\dpi{120} \sqrt{16} = 4$ .

Então, vamos escrever a expressão como o produto da soma das bases pela diferença das bases:

$\dpi{120} \mathrm{9x^2 - 16 = (3x +4)\cdot (3x - 4)}$

Fatoração do trinômio do quadrado perfeito

Quando o polinômio for um trinômio do quadrado perfeito, ele pode ser fatorado como o quadrado da soma ou quadrado da diferença entre dois termos:

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 = (a + b)\cdot (a+b) = (a+b)^2}$