Função quadrática

Entenda o que é uma função quadrática, como é o gráfico desse tipo de função, quais são suas propriedades e como encontrar as suas raízes ou zeros.

Por Elainy Marciano Publicado em 26/05/2020 - 16:14

A função quadrática ou função do 2° grau é uma função com a seguinte forma:

$\dpi{150} f(x)=ax^2 + bx + c$

Veja mais

O limite numérico: até onde vai o maior número que conhecemos?

Reditec debate ensino profissional e tecnológico

Em que $\dpi{120} a, b \: \mathrm{e} \: c$ são números reais e $\dpi{120} a \neq 0$ .

Observe que o termo quadrático $\dpi{120} ax^2$ sempre deve aparecer em uma função quadrática, já que $\dpi{120} a \neq 0$ . No entanto, nem sempre teremos os termos $\dpi{120} bx$ e $\dpi{120} c$ , uma vez que $\dpi{120} b \: \mathrm{e} \: c$ podem ser iguais a zero.

Vamos ver alguns exemplos de função quadrática:

a) $\dpi{120} f(x) = 3x^2 + 5x -2$ → Temos $\dpi{120} a=3, b= 5 \: e\: c=-2$

b) $\dpi{120} f(x) = x^2 + x + 1$ → Temos $\dpi{120} a=1, b= 1 \: e\: c=1$

c) $\dpi{120} f(x) = -25x^2 + 5$ → Temos $\dpi{120} a=-25, b= 0 \: e\: c=5$

d) $\dpi{120} f(x) = 2x^2 - 4x$ → Temos $\dpi{120} a=2, b= 4 \: e\: c=0$

d) $\dpi{120} f(x) = -6x^2$ → Temos $\dpi{120} a=-6, b= 0 \: e\: c=0$

Representação gráfica

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola, que pode ser traçada quando atribuímos valores para x e calculamos y = f(x), determinando vários pares ordenados (x, y).

Além disso, existem algumas propriedades da função quadrática que podem nos ajudar na construção do seu gráfico.

Concavidade da parábola

O valor da constante $\dpi{150} a$ na função quadrática é o que determinará a concavidade da parábola. Se $\dpi{150} a$ for um valor positivo, então a parábola tem concavidade para cima e se $\dpi{150} a$ for um valor negativo, a parábola tem concavidade para baixo.

Vértice da parábola

O vértice de uma parábola é o ponto $\dpi{120} V(x_v,y_v)$ onde a curva muda o sentido, torna-se crescente quando é côncava para cima ou torna-se decrescente, quando é côncava para baixo.

Podemos encontrar as coordenadas desse ponto da seguinte forma:

$\dpi{120} x_v =\frac{-b}{2.a} \: \: e\: \: y_v = \frac{-\Delta }{4.a}$

Onde $\dpi{120} \Delta = b^2 - 4.a.c$ é o discriminante.

Raízes ou zeros de uma função quadrática

A raízes ou zeros de uma função quadrática são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. Para encontrar esses valores devemos encontrar as soluções da seguinte equação do 2° grau: $\dpi{150} ax^2 + bx + c = 0$

Uma das formas de encontrar os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira, é utilizando a fórmula de Bhaskara:

$\dpi{150} x =\frac{ -b \pm \sqrt{\Delta }}{2.a}$

Em que: $\dpi{150} \Delta = b^2 - 4.a.c$

Além disso, também podemos saber em qual ponto o gráfico intercepta o eixo y. Para isso, só temos que calcular y = f(0), isto é, substituir x por 0 e calcular o valor de y correspondente.