Termo geral da PA

O termo geral da PA é uma fórmula para determinar qualquer termo da sequência. Entenda como encontrar essa fórmula e como utilizá-la!

Por Elainy Marciano Publicado em 18/11/2020 - 18:01

O termo geral de uma sequência numérica é uma fórmula que permite determinar um termo qualquer da sequência, conhecendo-se apenas alguns valores iniciais.

Nesse texto, vamos te mostrar qual é e como encontrar a fórmula do termo geral da PA, um tipo específico de sequência numérica. Confira!

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Fórmula do termo geral da PA

Na progressão aritmética (PA), a diferença entre dois termos consecutivos resulta sempre em um mesmo valor, em uma constante r chamada de razão da PA.

Conhecendo-se o valor da razão r e o primeiro termo $\dpi{120} \mathbf{a_1}$ , o termo geral $\dpi{120} \mathbf{a_n}$ é obtido através da seguinte fórmula do termo geral da PA:

$\dpi{120} \mathbf{a_n = a_1 + (n-1)r}$

Em que:

$\dpi{120} \mathbf{a_n}$ : termo de posição n que desejamos encontrar;
$\dpi{120} \mathbf{a_1}$ : primeiro termo da PA;
$\dpi{120} \mathbf{r}$ : razão da PA.

Exemplo 1: Escreva a fórmula do termo geral da PA (1, 4, 7, 10, 13, …).

Veja que a diferença entre dois números consecutivos da PA é sempre igual a 3:

4 – 1 = 3, 7 – 4 = 3, 10 – 7 = 3, 13 – 10 = 3

Portanto, r = 3.

Sendo $\dpi{120} \mathrm{a_1 = 1}$ , a fórmula do termo geral dessa PA é:

$\dpi{120} \mathrm{a_n = 1 + (n-1)\cdot 3}$

Resolvendo a multiplicação, podemos obter uma expressão mais simples:

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a_n = 1 + 3n - 3}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a_n = 3n - 2}$

Exemplo 2: Determine o 16º termo da PA do exemplo anterior.

Queremos determinar $\dpi{120} \mathrm{a_{16}}$ , portanto, n = 16. Substituindo na última fórmula encontrada no exemplo anterior, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{a_{16} = 3\cdot 16 - 2}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a_{16} = 46}$

Como encontrar a fórmula do termo geral da PA

Por simplicidade, considere uma PA finita de quatro termos ( $\dpi{120} \mathbf{a_1, a_2, a_3, a_4}$ ).

Para que uma sequência seja uma PA, já sabemos que a diferença entre dois termos consecutivos deve ser sempre a mesma, igual a um valor r, ou seja:

$\dpi{120} \mathbf{a_2 - a_1 = r}$
$\dpi{120} \mathbf{a_3 - a_2 = r}$
$\dpi{120} \mathbf{a_4 - a_3 = r}$

O que implica que os termos podem ser obtidos a partir da soma do termo anterior e a razão:

$\dpi{120} \mathbf{a_2 = r + a_1}$
$\dpi{120} \mathbf{a_3 = r + a_2}$
$\dpi{120} \mathbf{a_4 = r + a_3}$

Substituindo a expressão de $\dpi{120} \mathbf{a_2}$ em $\dpi{120} \mathbf{a_3 = r + a_2}$ , temos que:

$\dpi{120} \mathbf{a_3 = r + (r + a_1) = a_1 + 2r}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{a_3 = a_1 + 2r}$

Agora, substituindo a expressão de $\dpi{120} \mathbf{a_3}$ em $\dpi{120} \mathbf{a_4 = r + a_3}$ , temos que:

$\dpi{120} \mathbf{a_4 = r + (a_1 + 2r) = a_1 + 3r}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{a_4 = a_1 + 3r}$

Assim, conhecendo-se $\dpi{120} \mathbf{a_1}$ e $\dpi{120} \mathbf{r}$ , temos que:

$\dpi{120} \mathbf{a_2 = a_1+ 1r}$
$\dpi{120} \mathbf{a_3 = a_1 + 2r}$
$\dpi{120} \mathbf{a_4 = a_1 + 3r}$

De onde podemos concluir que, de forma geral: $\dpi{120} \mathbf{a_n = a_1 + (n-1)r}$

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