Lista de exercícios sobre condição de alinhamento de três pontos

Confira uma lista de exercícios resolvidos, passo a passo, e tire suas dúvidas sobre condição de alinhamento de três pontos.

Pontos alinhados ou pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.

Dados três pontos \dpi{120} \mathrm{A}(x_1,y_1), \dpi{120} \mathrm{B}(x_2,y_2) e \dpi{120} \mathrm{C}(x_3,y_3), a condição de alinhamento entre eles é que as coordenadas sejam proporcionais:

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}}

Veja uma lista de exercícios sobre condição de alinhamento de três pontos, todos com a resolução completa.

Exercícios sobre condição de alinhamento de três pontos


Questão 1. Verifique se os pontos (-4, -3), (-1, 1) e (2, 5) estão alinhados.


Questão 2. Verifique se os pontos (-4, 5), (-3, 2) e (-2, -2) estão alinhados.


Questão 3. Verifique se os pontos (-5, 3), (-3, 1) e (1, -4) pertencem a uma mesma reta.


Questão 4. Determine o valor de a para que os pontos (6, 4), (3, 2) e (a, -2) sejam colineares.


Questão 5. Determine o valor de b para os pontos (1, 4), (3, 1) e (5, b) sejam vértices de um triângulo qualquer.


Resolução da questão 1

Pontos: (-4, -3), (-1, 1) e (2, 5).

Calculamos o primeiro lado da igualdade:

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-1 - (-4)}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1

Calculamos o segundo lado da igualdade:

\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1 - (-3)}{5 - 1} = \frac{4}{4}=1

Como os resultados são iguais (1 = 1), então, os três pontos estão alinhados.

Resolução da questão 2

Pontos: (-4, 5), (-3, 2) e (-2, -2).

Calculamos o primeiro lado da igualdade:

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-3 - (-4)}{-2-(-3)} = \frac{1}{1} = 1

Calculamos o segundo lado da igualdade:

\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{2 - 5}{-2-2} = \frac{-3}{-4}= \frac{3}{4}

Como os resultados são diferentes \bigg(1\neq \frac{3}{4}\bigg), então, os três pontos não estão alinhados.

Resolução da questão 3

Pontos: (-5, 3), (-3, 1) e (1, -4).

Calculamos o primeiro lado da igualdade:

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-3 - (-5)}{1 - (-3)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Calculamos o segundo lado da igualdade:

\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1 - 3}{-4 - 1} = \frac{-2}{-5}= \frac{2}{5}

Como os resultados são diferentes \bigg(\frac{1}{2}\neq \frac{2}{5}\bigg), então, os três pontos não estão alinhados, logo, não pertencem a uma mesma reta.

Resolução da questão 4

Pontos: (6, 4), (3, 2) e (a, -2)

Pontos colineares são pontos alinhados. Então, devemos obter o valor de a de forma que:

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

Substituindo pelos valores das coordenadas, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{3-6}{a-3} = \frac{2-4}{-2-2}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{-3}{a-3} = \frac{-2}{-4}}

Aplicando a propriedade fundamental das proporções (multiplicação cruzada):

\dpi{120} \mathrm{-2(a-3)=12}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-2a + 6=12}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-2a = 6}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = -\frac{6}{2}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = -3}

Resolução da questão 5

Pontos: (1, 4), (3, 1) e (5, b).

Os vértices de um triângulo são pontos não alinhados. Então, vamos obter o valor de b para o qual os pontos são alinhados e qualquer outro valor diferente resultará em pontos não alinhados.

\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}= \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

Substituindo pelos valores das coordenadas, temos que:

\dpi{120} \mathrm{\frac{3-1}{5-3} = \frac{1-4}{b-1}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{2}{2} = \frac{-3}{b-1}}

Multiplicando cruzado:

\dpi{120} \mathrm{2.(b-1)=-6}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{2b -2=-6}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{2b =-4}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b =-\frac{4}{2}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{b =-2}

Portanto, para qualquer valor de b que seja diferente de -2, temos os vértices de um triângulo. Por exemplo, (1, 4), (3, 1) e (5, 3) formam um triângulo.

Para baixar essa lista de exercícios sobre condição de alinhamento de três pontos, clique aqui!

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