Lista de exercícios de geometria analítica

Confira uma lista de exercícios de geometria analítica, todos com resolução. Questões de distância, ponto médio, equação da reta, coeficiente angular, e muito mais!


Geometria analítica é uma parte da matemática que estuda as figuras geométricas a partir de expressões algébricas e usando um sistema de coordenadas.

Veja a seguir uma lista de exercícios de geometria analítica, todos com resolução, para que você possa entender o tipo de questões desse ramo da matemática.

Lista de exercícios de geometria analítica


Questão 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(1,6) e B(5, 3).


Questão 2. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades A(-4,0) e B(7, -2).


Questão 3. O ponto M(1, -2) é o ponto médio do segmento de extremidades A(\dpi{120} \mathrm{x_A, y_A}) e B(-1, -5). Determine as coordenadas do ponto A.


Questão 4. Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo de vértices A(1, 2), B(4, 4) e C(5, 1).


Questão 5. A distância entre os pontos A(1,8) e B(x, -2) é 2√29. Determine a abscissa do ponto B.


Questão 6. Verifique se os pontos A(2, 1), B(4, 2) e C(6, 3) são pontos alinhados.


Questão 7. Os pontos A(-8, y), B(-2, -1) e C(1, -3) são alinhados. Encontre a ordenada do ponto A.


Questão 8. Escreva a equação reduzida e geral da reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(-4, -2).


Questão 9. Determine a equação da reta que passa por A(2, 3) e é paralela à reta 2x + y = -2.


Questão 10. (Enem 2018) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), 6(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0; 2).

Gráfico da questão do Enem 2018

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

A) x = 0
B) y = 0
C) x² + y² =16
D) x² + (y – 2)² = 4
E) (x – 2 )² + ( y – 2 )² = 8


Resolução da questão 1

Ponto médio \dpi{120} \mathrm{M(x_m, y_m)}:

\dpi{120} \mathrm{x_m = \frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+5}{2} =3}

\dpi{120} \mathrm{y_m = \frac{y_A+y_B}{2}=\frac{6+3}{2} =\frac{9}{2}}

Então, o ponto médio é o ponto \dpi{120} \mathrm{M\bigg(3, \frac{9}{2}\bigg)}.

Resolução da questão 2

Ponto médio \dpi{120} \mathrm{M(x_m, y_m)}:

\dpi{120} \mathrm{x_m = \frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-4+7}{2} =\frac{3}{2}}

\dpi{120} \mathrm{y_m = \frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0-2}{2} =-1}

Então, o ponto médio é o ponto \dpi{120} \mathrm{M\bigg(\frac{3}{2},-1\bigg)}.

Resolução da questão 3

\dpi{120} \mathrm{x_m = \frac{x_A -1}{2} = 1\Rightarrow x_A - 1 = 2\Rightarrow x_A = 3}

\dpi{120} \mathrm{y_m = \frac{y_A -5}{2} = -2\Rightarrow y_A - 5 = -4\Rightarrow y_A = 1}

Portanto, A(3, 1).

Resolução da questão 4

O baricentro (G) é o ponto de encontro das medianas do triângulo.

\dpi{120} \mathrm{x_G = \frac{x_A+x_B + x_C}{3} = \frac{1+4+5}{3}=\frac{10}{3}}

\dpi{120} \mathrm{x_G = \frac{y_A+y_B + y_C}{3} = \frac{2+4+1}{3}=\frac{7}{3}}

O baricentro é ponto \dpi{120} \mathrm{G\bigg(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\bigg)}.

Resolução da questão 5

Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos.

\dpi{120} \mathrm{d(A,B)=\sqrt{(x-1)^2+(-2-8)^2} = 2\cdot {\sqrt{29}}}

\dpi{120} \mathrm{\sqrt{(x-1)^2+(-2-8)^2} = {\sqrt{116}}}

\dpi{120} \mathrm{(x-1)^2+(-2-8)^2 = 116}

\dpi{120} \mathrm{x^2 - 2x + 1+100 -116=0}

\dpi{120} \mathrm{x^2 - 2x -15=0}

Cálculo do discriminante:

\dpi{120} \Delta =(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-15) = 64

Fórmula de Bhaskara:

\dpi{120} \mathrm{x = \frac{-(-2) \pm\sqrt{64} }{2} = \frac{2 \pm 8}{2}}

\dpi{120} \mathrm{x_1 = \frac{2+ 8}{2} = 5}  e   \dpi{120} \mathrm{x_2 = \frac{2- 8}{2} = -3}

Portanto, a abscissa do ponto B é 5 ou -3.

Resolução da questão 6

Os três pontos são alinhados se:

\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 4& 2 & 1\\ 6& 3 & 1 \end{vmatrix} = 0

Então, vamos calcular o determinante pela Regra de Sarrus e ver se satisfaz essa condição:

\dpi{120} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 4& 2 & 1\\ 6& 3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 4& 2\\ 6& 3 \end{vmatrix}

(4 + 6 + 12) – (12 + 6 + 4) = 0

Como o determinante é igual a 0, então, os três são alinhados.

Resolução da questão 7

Se os três pontos são alinhados, então:

\dpi{120} \begin{vmatrix} -8 & \mathrm{y} & 1\\ -2& -1 & 1\\ 1& -3 & 1 \end{vmatrix} = 0

Vamos resolver o determinante para encontrar o valor de y:

\dpi{120} \begin{vmatrix} -8 & \mathrm{y} & 1\\ -2& -1 & 1\\ 1& -3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} -8 &\mathrm{y} \\ -2 & -1\\ 1& -3 \end{vmatrix} = 0

8 + y + 6 – (-1 + 24 – 2y) = 0

8 + y + 6 + 1 – 24 + 2y = 0

3y – 9 = 0

3y = 9

y = 3

Portanto, a ordenada do ponto A é y = 3.

Resolução da questão 8

Coeficiente angular:

\dpi{120} \mathrm{m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2-1}{-4-1} = \frac{3}{5}}

Coeficiente linear, considerando o ponto (1,1) e o valor de m encontrado:

\dpi{120} \mathrm{y = mx + n}

\dpi{120} \mathrm{1 = \frac{3}{5}\cdot 1 + n}

\dpi{120} \mathrm{n = \frac{2}{5}}

Equação reduzida da reta:

\dpi{120} \mathrm{y = mx + n}

\dpi{120} \mathrm{y = \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}}

Equação geral da reta:

\dpi{120} \mathrm{y = \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}}

\dpi{120} \mathrm{5y = 3x + 2}

\dpi{120} \mathrm{5y - 3x - 2=0}

Resolução da questão 9

Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, então, vamos determinar o coeficiente angular da reta 2x + y = -2, escrevendo-a na forma y = mx + n.

2x + y = -2

y = -2x – 2

Então, m = -2.

Agora, encontramos a equação da reta que passa por A(2, 3) e tem coeficiente angular m = -2.

y = mx + n

3 = -2 . 2 + n

n = 7

Equação reduzida da reta:

y = mx + n

y = -2x + 7

Equação geral da reta:

y = -2x + 7

2x + y – 7 = 0

Resolução da questão 10

Para resolver essa questão, vamos analisar cada uma das alternativas, observando os pontos pelos quais a reta ou circunferência passa e a pontuação.

Letra A: reta x = 0, que corresponde ao eixo y e passa pelos pontos A e E ⇒ pontuação: 1 + 1 = 2.

Letra B: reta y = 0, que corresponde ao eixo x e passa pelo ponto C ⇒ pontuação: 0.

Letra C: circunferência x² + y² =16, de centro C(0,0) e raio r = 4, passando pelos pontos A e C ⇒ pontuação: 2 + 2 = 4.

Letra D: circunferência x² + (y – 2)² = 4, de centro C(0, 2) e raio r = 2, passando pelos pontos A e D ⇒ pontuação: 2 + 2 = 4.

Letra E: circunferência (x – 2 )² + ( y – 2 )² = 8, de centro C(2, 2) e raio r = 2√2, passando pelos pontos A, B e C ⇒ pontuação: 2 + 2 + 2 = 6.

Alternativa correta: E.

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