Lista de exercícios sobre propriedades das potências

Confira uma lista de exercícios resolvidos sobre as propriedades da potenciação.

Por Elainy Marciano Publicado em 11/11/2020 - 16:15

A potenciação é uma operação matemática utilizada para expressar o produto de um número por ele mesmo. Essa operação possui algumas propriedades importantes, que possibilitam simplificar e resolver muitos cálculos.

As principais propriedades da potenciação são:

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→ Potenciação com expoente igual a zero:

$\dpi{120} \mathbf{a^0 = 1, a\neq 0}$

→ Potenciação com expoente igual a 1:

$\dpi{120} \mathbf{a^1 = a}$

→ Potenciação de números negativos com $\dpi{120} \mathrm{a>0}$ e $\dpi{120} \mathrm{m}$ um número par:

$\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = a^m}$

→ Potenciação de números negativos com $\dpi{120} \mathrm{a>0}$ e $\dpi{120} \mathrm{m}$ um número ímpar:

$\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = -(a^m) }$

→ Potência de uma potência:

$\dpi{120} \mathbf{(a^m)^n = a^{m\cdot n}}$

→ Potência com expoente negativo:

$\mathbf{a^{-m} = \bigg(\frac{1}{a}\bigg)^m = \frac{1}{a^m}}$

→ Multiplicação de potências:

$\dpi{120} \mathbf{a^m\cdot a^n = a^{m+n}}$

→ Divisão de potências:

$\dpi{120} \mathbf{a^m : a^n = a^{m-n}}$

Para aprender mais, confira uma lista de exercícios sobre propriedades das potências. Todas as questões resolvidas para que você possa tirar suas dúvidas.

Exercícios sobre propriedades das potências

Questão 1. Calcule as seguintes potências: $\dpi{120} (-3)^2$ , $\dpi{120} (-1)^9$ , $\dpi{120} (-5)^3$ e $\dpi{120} (-2)^6$ .

Questão 2. Calcule as seguintes potências: $\dpi{120} 4^2$ , $\dpi{120} -4^2$ e $\dpi{120} (-4)^2$ .

Questão 3. Calcule as potências de expoente negativo: $\dpi{120} 5^{-1}$ , $\dpi{120} 8^{-2}$ , $\dpi{120} (-3)^{-3}$ e $\dpi{120} (-1)^{-8}$ .

Questão 4. Calcule as seguintes potências: $\dpi{120} (4^2)^3$ , $\dpi{120} (-2^3)^{-1}$ , $\dpi{120} (3^2)^{-2}$ e $\dpi{120} (5^{-1})^{-2}$ .

Questão 5. Efetue as multiplicações entre potências:

$\dpi{120} 3^2\cdot 3^3$

$\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3}$

$\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1$

Questão 6. Efetue as divisões entre potências: $\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}$ , $\dpi{120} \frac{2^5}{2^0}$ e $\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}}$ .

Questão 7. Calcule as seguintes potências: $\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2$ , $\dpi{120} \left ( -\frac{2}{5} \right )^3$ , $\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4$ .

Questão 8. Calcule:

$\dpi{120} \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\cdot 3^{-2}}$

Resolução da questão 1

Como em $\dpi{120} (-3)^2$ o expoente é par, a potência será positiva:

$\dpi{120} (-3)^2 = 3^2 = 9$

Como em $\dpi{120} (-1)^9$ o expoente é ímpar, a potência será negativa:

$\dpi{120} (-1)^9 = -(1^9) = -1$

Como em $\dpi{120} (-5)^3$ o expoente é ímpar, a potência será negativa:

$\dpi{120} (-5)^3 = -(5^3)= - 125$

Como em $\dpi{120} (-2)^6$ o expoente é par, a potência será positiva:

$\dpi{120} (-2)^6= 2^6 = 64$

Resolução da questão 2

Nos três casos, a potência será a mesma, exceto pelo sinal, que poderá ser positivo ou negativo:

$\dpi{120} 4^2 = 16$

$\dpi{120} -4^2 =- (4^2) = -16$

$\dpi{120} (-4)^2 = 4^2 = 16$

Resolução da questão 3

A potência $\dpi{120} 5^{-1}$ é o inverso da potência $\dpi{120} 5^{1}$ :

$\dpi{120} 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$

A potência $\dpi{120} 8^{-2}$ é o inverso da potência $\dpi{120} 8^{2}$ :

$\dpi{120} 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$

A potência $\dpi{120} (-3)^{-3}$ é o inverso da potência $\dpi{120} (-3)^{3}$ :

$\dpi{120} (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-(3^3)} = -\frac{1}{27}$

A potência $\dpi{120} (-1)^{-8}$ é o inverso da potência $\dpi{120} (-1)^{8}$ :

$\dpi{120} (-1)^{-8} = \frac{1}{(-1)^8} = \frac{1}{1^8} = 1$

Resolução da questão 4

Em cada caso, podemos multiplicar os expoentes e depois calcular a potência:

$\dpi{120} (4^2)^3 = 4^{2\cdot 3} = 4^6 = 4096$

$\dpi{120} (-2^3)^{-1} =(-2)^{3\cdot -1} = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$

$\dpi{120} (3^2)^{-2} = 3^{2\cdot -2} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

$\dpi{120} (5^{-1})^{-2} = 5^{-1\cdot -2} = 5^2 = 25$

Resolução da questão 5

Em cada caso, somamos os expoentes das potências de mesma base:

$\dpi{120} 3^2\cdot 3^3 = 3^{2 + 3} = 3^5= 243$

$\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3} = 2^{2 -2 +3} = 2^3 = 8$

$\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1 = 3^{-1 +2}\cdot 5^{5-3+1}= 3^1\cdot 5^3 = 3\cdot 125 = 375$

Resolução da questão 6

Em cada caso, subtraímos os expoentes das potências de mesma base:

$\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}= 3^{6 -4} = 3^2 =9$

$\dpi{120} \frac{2^5}{2^0} = 2^{5-0} =2^5 = 32$

$\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}} = 5^{-9 -(-7)} = 5^{-9+7} = 5^{-2}= \frac{1}{25}$

Resolução da questão 7

Em cada caso, elevamos ambos os termos ao expoente:

$\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2 = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27}$

$\dpi{120} \left ( -\frac{2}{5} \right )^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$

$\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$

Resolução da questão 8

$\dpi{120} \small \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\cdot 3^{-2}} = \frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{3^{1}\cdot 2^5} = 2^{-2-5}\cdot 3^{-1-1} = 2^{-7}\cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^7\cdot 3^2} = \frac{1}{1152}$

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