Radiciação

Nesse post vamos te mostrar o que é a radiciação e quais são as principais propriedades dessa operação, que te ajudarão a resolver um monte de exercícios.

Radiciação é a operação da matemática que é contrária à potenciação.

Assim, se na potenciação queremos descobrir o resultado da multiplicação repetida de um mesmo número, na radiciação queremos descobrir qual é esse número que multiplicamos repetidas vezes para chegar a tal resultado.

A operação de radiciação é formada pelos seguintes elementos:

Elementos da radiciação

Exemplos:

\dpi{120} {\color{DarkGreen} 4}^{\color{Purple} 2} = {\color{Red} 16} \Rightarrow \sqrt[{\color{Purple} 2}] {{\color{Red} 16}} = {\color{DarkGreen} 4}

Significa que como 4 elevado ao quadrado é 16, então, a raiz quadrada de 16 é igual a 4.

\dpi{120} {\color{DarkGreen} 2}^{\color{Purple} 3} = {\color{Red} 8} \Rightarrow \sqrt[{\color{Purple} 3}] {{\color{Red} 8}} = {\color{DarkGreen} 2}

Significa que uma vez que 2 elevado ao cubo é 8, então, a raiz cúbica de 8 é igual a 2.

Propriedades da radiciação

Vejamos abaixo as propriedades da radiciação e seus respectivos exemplos:

Propriedade 1) A raiz n-ésima de um número elevado a n é igual ao próprio número.\dpi{150} \sqrt[n]{a^n} = a

Exemplo: \dpi{120} \sqrt[10]{3^{10}} = 3.

Propriedade 2) A raiz n-ésima de um número elevado a m é igual à raiz n-ésima do número elevado a m.

\dpi{150} (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}

Exemplo: \dpi{120} (\sqrt[4]{2})^3 = \sqrt[4]{2^3} .

Propriedade 3) A raiz com índice n vezes p de um número elevado a m vezes p é igual a raiz n-ésima do número elevado a m.

\dpi{150} \sqrt[n.p]{a^{m.p}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Exemplo: \dpi{120} \sqrt[18]{4^{12}}= \sqrt[3.6]{4^{2.6}} = \sqrt[3]{4^{2}}.

Propriedade 4) A raiz com índice n dividido por p de um número elevado a m dividido por p é igual à raiz n-ésima do número elevado a m.

\dpi{150} \sqrt[n:p]{a^{m:p}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Exemplo: \dpi{120} \sqrt[5]{3^{4}}= \sqrt[10:2]{3^{8:2}} = \sqrt[10]{3^{8}}.

Propriedade 5) A raiz n-ésima do produto de dois números é igual ao produto das raízes n-ésimas dos números.

\dpi{150} \sqrt[n]{a.b} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}

Exemplo: \dpi{120} \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2.4} = \sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{4}.

Propriedade 6) A raiz n-ésima da divisão de dois números é igual à divisão das raízes n-ésimas dos números.

\dpi{150} \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Exemplo: \dpi{120} \sqrt[2]{\frac{15}{80}} = \frac{\sqrt[2]{15}}{\sqrt[2]{80}}.

Propriedade 7) A raiz m-ésima da raiz n-ésima de um número é igual à raiz com índice m vezes n desse número.

\dpi{150} \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m.n]{a}

Exemplo: \dpi{120} \sqrt[4]{\sqrt[3]{100}} = \sqrt[12]{100}.

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