Análise combinatória

Análise combinatória permite fazer contagens sem listar cada uma das possibilidades. Aprenda sobre PFC, permutações, arranjos e combinações.

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A análise combinatória pode ser entendida como um conjunto de técnicas de contagem do número de formas que podemos organizar elementos de acordo com alguns critérios.

Com a análise combinatória, podemos saber quantas duplas distintas formar com 30 alunos ou quantas placas de carro diferentes podem haver com um conjunto de letras.

Tudo isso sem a necessidade de listar cada uma das possíveis formas!

A seguir, vamos ver os principais fundamentos e técnicas de análise combinatória.

Princípio fundamental da contagem – PFC

Considere que um resultado pode ser obtido de \dpi{120} n_1 maneiras diferentes e um segundo resultado pode ser obtido de \dpi{120} n_2 maneiras diferentes.

O princípio fundamental da contagem (PFC) nos diz que o número total de possibilidades de ocorrer os dois resultados, nessa ordem, é igual a:

\dpi{120} n_1\cdot n_2

Generalizando para mais que dois resultados, se tivermos k resultados possíveis, calculamos:\dpi{120} n_1\cdot n_2\cdot ...\cdot n_k

Exemplo 1: Caio tem 3 calças e 5 camisas. De quantas formas possíveis Caio pode se vestir escolhendo uma calça e uma camisa?

Resolução:

São 3 opções de calça e 5 opções de camisas, então, pelo PFC, basta multiplicar essas duas quantidades:

3 . 5 = 15

Portanto, Caio tem 15 formas possíveis de se vestir, escolhendo uma calça e uma camisa.

Exemplo 2: Se, além das 3 calças e 5 camisas, Caio tiver 2 cintos como opção, de quantas formas possíveis Caio poderá se vestir?

Resolução:

3 . 5 . 2 = 30

Logo, Caio poderá se vestir de 30 formas possíveis.

Permutação

A palavra permutação significa trocar ou mudar uma coisa por outra.

Assim, se temos \dpi{120} n elementos, o número de permutações corresponde ao número de formas possíveis que podemos ordenar esses \dpi{120} n elementos.

Representando por \dpi{120} P_n o número de permutações de n elementos, temos que:

\dpi{150} P_n = n!

Onde \dpi{120} n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 1 é o fatorial do número n.

Exemplo: Maria, Bianca, Pedro, Ester e Enzo vão descer no escorredor. De quantas formas possíveis podemos organizar uma fila entre as crianças para que desça uma de cada vez?

Resolução:

São 5 crianças no total e queremos saber de quantas formas possíveis podemos organizar uma fila com todas elas, ou seja, é o número de permutações de 5 elementos.

\dpi{120} P_5 = 5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120

Portanto, há 120 formas possíveis de organizar as crianças em uma fila.

Imagine listar todas essas 120 possibilidades?! Não seria nada fácil!

Arranjo

Considere \dpi{120} n elementos agrupados de \dpi{120} p em \dpi{120} p elementos e cuja ordem dos elementos deve ser levada em conta. Cada um dos grupos formados, nessas condições, é chamado de arranjo.

Para calcular o número de arranjos de \dpi{120} n elementos tomados em grupos de tamanho \dpi{120} p, utilizamos a seguinte fórmula:

\dpi{150} A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}

Observação: Uma permutação é um caso particular de arranjo, quando \dpi{120} p = n. Veja que nesse caso, o denominador passa a ser \dpi{120} (n-n)! = 0! = 1. Assim, \dpi{120} A_{n,n} =P_n= n!

Exemplo: Em uma competição de matemática, a disputa será em duplas. Em cada dupla, deve haver um aluno que responderá a primeira pergunta e um aluno que responderá a segunda pergunta.

De quantas formas possíveis 30 alunos de uma sala podem ser organizados para participar da competição?

Resolução:

São 30 alunos a serem organizados de 2 em 2 e a ordem dos alunos em cada dupla é importante na contagem do número de formas possíveis.

A dupla Maria e João será diferente de João e Maria, por exemplo, pois a ordem vai indicar quem responde primeiro.

Então, vamos calcular o número de arranjos:

\dpi{120} A_{30,2} = \frac{30!}{(30-2)!} = \frac{30!}{28!} = \frac{30\cdot 29\cdot \cancel{28!}}{\cancel{28!}} = 30\cdot 29 = 870

Portanto, há 870 formas diferentes de organizar os 30 alunos em duplas, considerando a ordem dos alunos em cada dupla para responder às perguntas.

Combinação

Considere \dpi{120} n elementos agrupados de \dpi{120} p em \dpi{120} p elementos e cuja ordem dos elementos não é levada em conta. Cada um dos grupos formados, nessas condições, é chamado de combinação.

Para calcular o número de combinações de \dpi{120} n elementos tomados em grupos de tamanho \dpi{120} p, utilizamos a seguinte fórmula:

\dpi{150} C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}

Exemplo: Na competição de matemática do exemplo anterior, suponha que cada dupla responderá a duas perguntas em conjunto, sem ter a necessidade de definir quem responderá primeiro.

De quantas formas possíveis os 30 alunos podem ser organizados para participar da competição?

Resolução:

São 30 alunos a serem organizados de 2 em 2 e a ordem dos alunos em cada dupla não é importante na contagem do número de formas possíveis.

A dupla Maria e João será igual a João e Maria, por exemplo, pois eles vão responder às perguntas juntos, a ordem deles não importa.

Então, vamos calcular o número de combinações:

\dpi{120} C_{30,2} = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2!\cdot 28!} = \frac{30\cdot 29\cdot \cancel{28!}}{2!\cancel{28!}} = \frac{30\cdot 29}{2} = 435

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