Equação da reta

Aprenda os três tipos de equação da reta: equação geral, equação reduzida e equação segmentária. Veja exemplos simples!

Por Elainy Marciano Publicado em 12/08/2020 - 07:16

Existem três formas diferentes de expressar a equação da reta: equação geral, equação reduzida e equação segmentária.

De modo geral, para determinar a equação da reta, precisamos de dois pontos distintos pertencentes a reta ou um ponto e o coeficiente angular.

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Equação geral da reta

A equação geral da reta tem a seguinte forma:

$\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{a}x + \mathrm{b}y + \mathrm{c} = 0}$

Os valores de a, b e c na expressão acima são calculados a partir das coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta, $\dpi{120} A(x_a, y_a)$ e $\dpi{120} B(x_b,y_b)$ .

Temos:

$\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{a} }= y_a - y_b$

$\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{b}} = x_b - x_a$

$\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{c}} = x_ay_b - x_b y_a$

Podemos mostrar que isso é verdade, considerando um ponto genérico $\dpi{120} P(x, y)$ pertencente à reta. Sendo os pontos $\dpi{120} A$ , $\dpi{120} B$ e $\dpi{120} P$ três pontos alinhados, podemos escrever:

$\dpi{120} \mathrm{\begin{vmatrix} x& y & 1\\ x_a& y_a & 1\\ x_b& y_b & 1 \end{vmatrix} = 0}$

Resolvendo o determinante e igualando a zero, chegamos à expressão:

$\dpi{120} (y_a - y_b)x+ (x_b - x_a)y +x_a y_b - x_b y_a = 0$

Considerando $\dpi{120} \mathrm{a} = y_a - y_b$ , $\dpi{120} \mathrm{b} = x_b - x_a$ e $\dpi{120} \mathrm{c} = x_ay_b - x_b y_a$ , temos a equação geral da reta.

Exemplo: determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A(3, -1) e B(1, 2).

$\dpi{120} \mathrm{a} = -1 - 2 = -3$
$\dpi{120} \mathrm{b} =1-3 = -2$
$\dpi{120} \mathrm{c} = 3\cdot 2 - 1\cdot (-1) = 6 + 1 = 7$

Equação geral da reta:

$\dpi{120} \mathrm{-3x - 2y + 7 = 0}$

Observação: para evitar decorar as expressões de a, b e c, podemos, também, resolver o determinante e encontrar essa mesma equação da reta.

$\dpi{120} \mathrm{\begin{vmatrix} x& y & 1\\ 3& -1 & 1\\ 1& 2 & 1 \end{vmatrix} = 0}$

Equação reduzida da reta

A equação reduzida da reta tem a seguinte forma:

$\dpi{120} \boldsymbol{y = \mathrm{m}x + \mathrm{n}}$

Em que $\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{m}}$ é o coeficiente angular e $\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{n}}$ é o coeficiente linear da reta.

Coeficiente angular

O coeficiente angular corresponde à tangente do ângulo de inclinação da reta com o eixo das abscissas:

$\dpi{120} \mathrm{m = tan(\alpha)}$

O coeficiente angular também pode ser determinado a partir de dois pontos pertencentes à reta:

$\dpi{120} \mathrm{m} = \frac{y_b- y_a}{x_b-x_a}$

Coeficiente linear

O coeficiente linear $\dpi{120} \boldsymbol{\mathrm{n}}$ é a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo $\dpi{120} Y$ , ou seja, quando $\dpi{120} x = 0$ , temos $\dpi{120} y = \mathrm{n}$ .

Podemos determinar o valor do coeficiente linear a partir de um ponto $\dpi{120} (x, y)$ conhecido e do coeficiente angular:

$\dpi{120} \mathrm{n}= y -\mathrm{m}x$

Exemplo: determinar a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(2, 5) e B(5, 7).

Coeficiente angular

$\dpi{120} \mathrm{m} = \frac{7- 5}{5-2}$

$\dpi{120} \mathrm{m} = \frac{2}{3}$

Coeficiente linear

Usando o ponto A(2, 5) e m = 2/3, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{n}= 5 -\frac{2}{3}\cdot 2$

$\dpi{120} \mathrm{n}= 5 -\frac{4}{3}$

$\dpi{120} \mathrm{n}= \frac{15-4}{3}$

$\dpi{120} \mathrm{n}= \frac{11}{3}$

Então, a reta intercepta o eixo Y no ponto (0,11/3).

Equação reduzida da reta

$\dpi{120} y = \frac{2}{3}x + \frac{11}{3}$

Equação segmentária da reta

A equação segmentária da reta é:

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1}$

Em que $\dpi{120} \boldsymbol{a\neq 0}$ é o valor onde a reta intercepta o eixo X e $\dpi{120} \boldsymbol{b\neq 0}$ é o valor onde a reta intercepta o eixo Y.

Assim, para encontrar a equação segmentária da reta, basta conhecer os pontos $\dpi{120} A(a, 0)$ e $\dpi{120} B(0, b)$ pertencentes à reta.

Exemplo: determinar a equação da reta que passa pelos pontos A(-2, 0) e B(0, 4).

$\dpi{120} -\frac{x}{2}+\frac{y}{4} = 1$

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