Teorema de Laplace

O teorema de Laplace permite obter o determinante de matrizes de ordem 4 ou mais. Entenda como utilizar esse teorema, vejas exemplos e tire todas as suas dúvidas sobre esse assunto!

Por Elainy Marciano Publicado em 23/07/2020 - 17:03

O teorema de Laplace é um teorema que possibilita calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem qualquer.

No entanto, para matrizes de ordem 2 ou 3, outros métodos mais simples podem ser aplicados para o cálculo do determinante, o que faz do teorema de Laplace um método mais usual para matrizes de ordem maior ou igual a 4.

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Teorema de Laplace

No teorema de Laplace, devemos escolher uma das linhas ou uma das colunas da matriz.

Escolhida a linha ou coluna, o teorema nos diz que o determinante da matriz é igual à soma dos produtos de cada elemento $a_{ij}$ da linha ou coluna pelo seu cofator $A_{ij}$ .

$Det(A) = \sum a_{ij}\cdot A_{ij}$

Em que $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}$ é chamado de cofator do elemento $a_{ij}$ e $D_{ij}$ é o determinante da matriz calculado quando eliminamos a linha e a coluna .

Observe que se:

é um número par ⇒ $A_{ij} = D_{ij}$
é um número ímpar ⇒ $A_{ij} = -D_{ij}$

Como utilizar o teorema de Laplace

Para mostrar como aplicar o teorema de Laplace, vamos considerar, por simplicidade, uma matriz de ordem 3.

Supondo que escolhemos a 1ª linha da matriz:

$A = \begin{bmatrix} {\color{Blue} a_{11}} &{\color{Blue} a_{12}} & {\color{Blue} a_{12}}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Então, pelo teorema de Laplace, temos que:

$Det(A) = {\color{Blue} a_{11}}\cdot A_{11} + {\color{Blue} a_{12}}\cdot A_{12} + {\color{Blue} a_{13}}\cdot A_{13}$

Como calcular os cofatores $A_{11}, A_{12} \: \mathrm{e}\: A_{13}$ ?

$A_{11}$ → 1 + 1 = 2 → número par ⇒ $A_{11} = D_{11}$
$A_{12}$ → 1 + 2 = 3 → número ímpar ⇒ $A_{12} = -D_{12}$
$A_{13}$ → 1 + 3 = 4 → número par ⇒ $A_{13} = D_{13}$

Portanto, o determinante de A é dado por:

$Det(A) = {\color{Blue} a_{11}}\cdot D_{11} - {\color{Blue} a_{12}}\cdot D_{12} + {\color{Blue} a_{13}}\cdot D_{13}$

Como calcular $D_{11}, D_{12}\: \mathrm{e} \: D_{13}$ ?

$D_{11}$ → eliminamos a linha 1 e coluna 1 e calculamos o determinante de uma matriz de ordem 2:

$A = \begin{bmatrix} {\color{Red} a_{11}} & {\color{Red} a_{12}} & {\color{Red} a_{12}}\\ {\color{Red} a_{21}}& a_{22} & a_{23} \\ {\color{Red} a_{31}}&a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ ⇒ $D_{11} = det\begin{bmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}$

$D_{12}$ → eliminamos a linha 1 e coluna 2 e calculamos o determinante de uma matriz de ordem 2:

$A = \begin{bmatrix} {\color{Red} a_{11}} & {\color{Red} a_{12}} & {\color{Red} a_{12}}\\ a_{21}& {\color{Red} a_{22}} & a_{23} \\ a_{31}&{\color{Red} a_{32}} & a_{33} \end{bmatrix}$ ⇒ $D_{12} = det\begin{bmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{bmatrix}$

$D_{13}$ → eliminamos a linha 1 e coluna 3 e calculamos o determinante de uma matriz de ordem 2:

$A = \begin{bmatrix} {\color{Red} a_{11}} & {\color{Red} a_{12}} & {\color{Red} a_{12}}\\ a_{21}& a_{22} & {\color{Red} a_{23}} \\ a_{31}&a_{32} & {\color{Red} a_{33}} \end{bmatrix}$ ⇒ $D_{13} = det\begin{bmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{bmatrix}$

Exemplo do teorema de Laplace

Vamos calcular o determinante da matriz A abaixo, utilizando o teorema de Laplace.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\ 6& 4 & 1\\ 5& 7 & 3 \end{bmatrix}$

Em geral, é preferível escolher linhas ou colunas com elementos nulos (zero), para facilitar os cálculos.

Contudo, na matriz A acima não temos elementos nulos e vamos escolher a linha 1.

Desse modo:

$Det(A) = 1\cdot D_{11} - 3\cdot D_{12} + 2\cdot D_{13}$

Vamos calcular $D_{11}, D_{12}\: \mathrm{e} \: D_{13}$ :

$D_{11} = det\begin{bmatrix} 4 &1 \\ 7 &3 \end{bmatrix} = 4 \cdot 3 - 1\cdot 7 = \boldsymbol{5}$

$D_{12} = det\begin{bmatrix} 6 &1 \\ 5 &3 \end{bmatrix} = 6 \cdot 3 - 1\cdot 5 = \boldsymbol{13}$

$D_{13} = det\begin{bmatrix} 6 &4 \\ 5 &7 \end{bmatrix} = 6 \cdot 7 - 4\cdot 5 = \boldsymbol{22}$

Portanto, temos que:

$Det(A) = 1\cdot 5 - 3\cdot 13 + 2\cdot 22$

$\Rightarrow Det(A) = 5 - 39 + 44$

$\Rightarrow Det(A) = 10$

Teorema de Laplace para matriz de ordem 4

Já vimos como calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 pelo teorema de Laplace. E as matrizes de ordem 4?

Para aplicar o teorema de Laplace em matrizes de ordem 4, o procedimento é bem semelhante. A diferença é que vamos ter que calcular os cofatores associados aos quatro elementos da linha ou coluna escolhida.

Além disso, quando eliminarmos a linha e a coluna , vamos ter uma matriz de ordem 3. Nesse caso, os elementos $D_{ij}$ podem ser calculados pela Regra de Sarrus.

Veja como calcular o determinante de matrizes de ordem 4 ou superior:

$Det(A_{4 \times 4}) = {\color{Blue} a_{11}}\cdot D_{11} - {\color{Blue} a_{12}}\cdot D_{12} + {\color{Blue} a_{13}}\cdot D_{13} - {\color{Blue} a_{14}} \cdot D_{14}$

$Det(A_{5 \times 5}) = {\color{Blue} a_{11}}\cdot D_{11} - {\color{Blue} a_{12}}\cdot D_{12} + {\color{Blue} a_{13}}\cdot D_{13} - {\color{Blue} a_{14}} \cdot D_{14} + {\color{Blue} a_{15}} \cdot D_{15}$

$Det(A_{6 \times 6}) = {\color{Blue} a_{11}}\cdot D_{11} - {\color{Blue} a_{12}}\cdot D_{12} + {\color{Blue} a_{13}}\cdot D_{13} - {\color{Blue} a_{14}} \cdot D_{14} + {\color{Blue} a_{15}} \cdot D_{15} - {\color{Blue} a_{16}} \cdot D_{16}$

$\dpi{120} \vdots$

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