Lista de exercícios de progressão aritmética

Confira uma lista de exercícios de progressão aritmética, todos resolvidos, passo a passo.

A progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o seu antecessor é um valor constante.

No estudo de PA há algumas fórmulas importantes. O termo geral da PA é determinado da seguinte forma:

\dpi{120} \mathbf{a_n = a_1 + r.(n-1)}

Já para obter a soma dos termos de uma PA, usa-se a fórmula abaixo:

\dpi{120} \mathbf{S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}}

Veja a seguir uma lista de exercícios de progressão aritmética, todos com resolução, passo a passo.

Exercícios de progressão aritmética


Questão 1. Verifique se as sequências são progressões aritméticas e determine a razão das que forem.

a) (1, 5, 9, 13, 17, …)
b) (2, 0, 2, 0, 2, 0, …)
c) (2, 1, 0, -1, -2, …)
d) (1, 2, 3, 4, 5, …)


Questão 2. Determine os cinco primeiros termos de uma PA cuja razão é 5 e o sexto termo é 28.


Questão 3. A progressão (30, 29.4, 28.8, 28.2, 27.6) é aritmética? Se for, determine 9º, o 15º e o 20º termo da sequência.


Questão 4. Determine os quatro primeiros termos de uma PA cujo termo geral é:

\dpi{120} \mathrm{a_n = 2n + 6}


Questão 5. Calcule a razão de uma PA com termo geral dado por:

\dpi{120} \mathrm{a_n = 3n -1}


Questão 6. Determine a soma dos 15 primeiros termos da PA (11, 14, 17, 21, …).


Questão 7. Determine o termo geral de uma PA cujo primeiro termo é 1 e a soma até o 10º termo é 63.


Resolução da questão 1

a) (1, 5, 9, 13, 17, …)

Vamos calcular a diferença entre cada termo e seu antecessor para verificar se é constante:

5 – 1 = 4
9 – 5 = 4
13 – 9 = 4
17 – 13 = 4

Como a diferença é constante, essa é uma PA e a sua razão é 4.

b) (2, 0, 2, 0, 2, 0, …)

0 – 2 = – 2
2 – 0 = 2
0 – 2 = – 2
2 – 0 = 2

Como a diferença não é constante, essa não é uma PA.

c) (2, 1, 0, -1, -2, …)

1 – 2 = – 1
0 – 1 = – 1
– 1 – 0 = – 1
– 2 – (-1) = – 1

Como a diferença é constante, essa é uma PA e a sua razão é -1.

d) (1, 2, 3, 4, 5, …)

2 – 1 = 1
3 – 2 = 1
4 – 3 = 1
5 – 4 = 1

Como a diferença é constante, essa é uma PA e a sua razão é 1.

Resolução da questão 2

Sabemos que \dpi{120} \mathrm{r = 5} e \dpi{120} \mathrm{a_6 = 28} e queremos determinar os termos \dpi{120} \mathrm{a_1, a_2, ..., a_5}.

Vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA para encontrar \dpi{120} \mathrm{a_1}, inicialmente:

\dpi{120} \mathrm{a_n = a_1 + r.(n-1)}

\dpi{120} \mathrm{28 = a_1 + 5.(6-1)}

\dpi{120} \mathrm{28 = a_1 + 25}

\dpi{120} \mathrm{a_1 = 28 - 25}

\dpi{120} \mathrm{a_1 = 3}

Agora, podemos encontrar os outros termos, adicionando a razão 5:

\dpi{120} \mathrm{a_2 = a_1 + r = 3 + 5 = 8}

\dpi{120} \mathrm{a_3 = a_2 + r = 8 + 5 = 13}

\dpi{120} \mathrm{a_4 = a_3 + r = 13 + 5 = 18}

\dpi{120} \mathrm{a_5 = a_4 + r = 18 + 5 = 23}

Portanto, a PA é (3, 8, 13, 18, 23, 28).

Resolução da questão 3

A progressão (30, 29.4, 28.8, 28.2, 27.6) é aritmética, pois a diferença entre um termo e o seu antecessor é constante:

29.4 – 30 = -0.6
28.8 – 29.4 = -0.6
28.2 – 28.8 = -0.6
27.6 – 28.2 = -0.6

Para determinar o 9º, o 15º e o 20º termo da sequência, vamos usar a fórmula do termo geral da PA.

9° termo:

\dpi{120} \mathrm{a_9 = a_1 + r.(9-1)}

\dpi{120} \mathrm{a_9 = 30 -0.6\cdot (9-1)}

\dpi{120} \mathrm{a_9 = 25.2}

15º termo:

\dpi{120} \mathrm{a_{15} = a_1 + r.(15-1)}

\dpi{120} \mathrm{a_{15} = 30 -0,6\cdot (15-1)}

\dpi{120} \mathrm{a_{15} = 21,6}

20º termo:

\dpi{120} \mathrm{a_{20} = a_1 + r.(20-1)}

\dpi{120} \mathrm{a_{20} = 30 -0.6\cdot (20-1)}

\dpi{120} \mathrm{a_{20} = 18,6}

Resolução da questão 4

Basta atribuir valores para n na fórmula do termo geral para determinar os termos da PA.

\dpi{120} \mathrm{a_n = 2n + 6}

n =1 -> \dpi{120} \mathrm{a_1 = 2.1 + 6 = 8}

n = 2 -> \dpi{120} \mathrm{a_2 = 2.2 + 6 = 10}

n = 3 -> \dpi{120} \mathrm{a_3 = 2.3 + 6 = 12}

n = 4 -> \dpi{120} \mathrm{a_4 = 2.4 + 6 = 14}

Resolução da questão 5

Precisamos apenas de dois termos consecutivos da PA para determinar sua razão.

\dpi{120} \mathrm{a_n = 3n -1}

n = 1 -> \dpi{120} \mathrm{a_1 = 3.1 -1 = 2}

n = 2 -> \dpi{120} \mathrm{a_2 = 3.2 -1 = 5}

Como 5 – 2 = 3, então, a razão é r = 3.

Resolução da questão 6

Para determinar a soma de n termos da PA, usamos a fórmula:

\dpi{120} \mathrm{S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}}

Como queremos a soma dos 15 primeiros termos, vamos calcular \dpi{120} \mathrm{S_{15}} da PA (11, 14, 17, 21, …), cuja razão é r =3.

Sabemos que \dpi{120} \mathrm{a_1 = 11}, mas não conhecemos ainda qual o valor do termo \dpi{120} \mathrm{a_{15}}. Vamos calcular usando a fórmula do termo geral:

\dpi{120} \mathrm{a_{15} = 11 + 3.(15-1)}

\dpi{120} \mathrm{a_{15} = 53}

Agora, já podemos calcular \dpi{120} \mathrm{S_{15}}:

\dpi{120} \mathrm{S_{15}=\frac{15\cdot (11+53)}{2}}

\dpi{120} \mathrm{S_{15}=480}

Resolução da questão 7

Sabemos que \dpi{120} \mathrm{a_1 = 1} e \dpi{120} \mathrm{S_{10} = 63}. Queremos determinar o termo geral dessa PA, que é uma expressão que dependa apenas de n. Então, precisamos determinar a razão.

Vamos utilizar as fórmulas do termo geral e da soma dos termos da PA:

\dpi{120} \mathrm{a_n = a_1 + r.(n-1)}

\dpi{120} \mathrm{S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}}

Substituindo os dados, temos que:

\dpi{120} \mathrm{a_{10} = 1 + r.(10-1)}

\dpi{120} \mathrm{a_{10} = 1 + 9r}

E

\dpi{120} \mathrm{S_{10}=\frac{10\cdot (1+a_{10})}{2}}

\dpi{120} \mathrm{63=\frac{10\cdot (1+a_{10})}{2}}

Substituindo \dpi{120} \mathrm{a_{10} = 1 + 9r} na segunda expressão, temos que:

\dpi{120} \mathrm{63=\frac{10\cdot (1+(1 + 9r))}{2}}

\dpi{120} \mathrm{63=\frac{10\cdot (2 + 9r)}{2}}

\dpi{120} \mathrm{63=10 + 45r}

\dpi{120} \mathrm{53 = 45r}

\dpi{120} \mathrm{r = \frac{53}{45}}

Portanto, o termo geral da PA é dado por:

\dpi{120} \mathrm{a_n = 1 + \frac{53}{45}.(n-1)}

Observe que atribuindo valores para n, determinamos qualquer termo da PA.

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