Lista de exercícios de números fatoriais

Confira uma lista de exercícios resolvidos, passo a passo, sobre números fatoriais.

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Números fatoriais são números inteiros positivos que indicam o produto entre o próprio número e todos os seus antecessores.

Para \dpi{120} n\geq 2, temos que:

\dpi{120} \boldsymbol{n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}

Para \dpi{120} n = 0 e \dpi{120} n =1, o fatorial é definido da seguinte forma:

  • \dpi{120} \boldsymbol{0! = 1}
  • \dpi{120} \boldsymbol{1!=1}

Para aprender mais sobre esses números, veja uma lista de exercícios de números fatoriais, todos com resolução!

Exercícios de números fatoriais


Questão 1. Calcule o fatorial de:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7


Questão 2. Determine o valor de:

a) 5! + 3!
b) 6! – 4!
c) 8! – 7! + 1! – 0!


Questão 3. Resolva as operações:

a) 8! . 8!
b) 5! – 2! . 3!
c) 4! . (1 + 0)!


Questão 4. Calcule as divisões entre fatoriais:

a) \dpi{120} \frac{10!}{9!}

b) \dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!}

c) \dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!}


Questão 5. Sendo \dpi{120} a\in \mathbb{Z}, \dpi{120} a> 0, expresse \dpi{120} (a+5)! através de \dpi{120} a!


Questão 6. Simplifique os seguintes quocientes:

a) \dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!}

b) \dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!}

c) \dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}


Questão 7. Resolva a equação:

\dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2)!


Questão 8. Simplifique o quociente:

\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (x + 1)! + x!}


Resolução da questão 1

a) O fatorial de 4 é dado por:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

b) O fatorial de 5 é dado por:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Como 4 . 3 . 2 . 1 = 4!, podemos reescrever 5! da seguinte forma:

5! = 5 . 4!

Já vimos que 4! = 24, então:

5! = 5 . 24 = 120

c) O fatorial de 6 é dado por:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Como 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!, podemos reescrever 6! do seguinte modo:

6! = 6 . 5! = 6 . 120 = 720

d) O fatorial de 7 é dado por:

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Como 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6!, podemos reescrever 7! da seguinte forma:

7! = 7 . 6! = 7 . 720 = 5040

Resolução da questão 2

a) 5! + 3! = ?

Na adição ou subtração de números fatoriais, devemos calcular cada fatorial antes de realizar a operação.

Como 5! = 120 e 3! = 6, então, temos que:

5! + 3! = 120 + 6 = 126

b) 6! – 4! = ?

Como 6! = 720 e 4! = 24, temos que:

6! – 4! = 720 – 24 = 696

c) 8! – 7! + 1! – 0! = ?

Como 8! = 40320,  7! = 5040 ,  1! = 1 e 0! = 1, temos que:

8! – 7! + 1! – 0! = 40320 – 5040 + 1 – 1 = 35280

Resolução da questão 3

a) 8! . 8! = ?

Na multiplicação de números fatoriais, devemos calcular os fatoriais e depois realizar a multiplicação entre eles.

Como 8! = 40320, então, temos que:

8! . 8! = 40320 . 40320 = 1625702400

b) 5! – 2! . 3! = ?

Como 5! = 120, 2! = 2 e 3! = 6, temos que:

5! – 2! . 3! = 120 – 2 . 6 = 120 – 12 = 108

c) 4! . (1 + 0)!  = 4! . 1! = ?

Como 4! = 24 e 1! = 1, então, temos que:

4! . 1! = 24 . 1 = 24

Resolução da questão 4

a) \dpi{120} \frac{10!}{9!} = ?

Na divisão de números fatoriais, também devemos calcular os fatoriais antes de resolver a divisão.

Como 10! = 3628800 e 9! = 362880, então, \dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{3628800}{362880} = 10.

Contudo, na divisão, podemos simplificar os fatoriais, cancelando termos iguais no numerador e no denominador. Esse procedimento facilita muitos cálculos. Veja:

Como 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 10 . 9!, temos que:

\dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{10\cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}} = 10

b) \dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!} = ?

\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!}} = 30

c) \dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!} = ?

\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!} = \frac{20!}{(19 + 1 - 1)!} = \frac{20!}{19!} = \frac{20\cdot \cancel{19!}}{\cancel{19!}} = 20

Resolução da questão 5

Lembrando que \dpi{120} n! = n . (n - 1)! , podemos reescrever \dpi{120} (a+5)! da seguinte forma:

\dpi{120} (a+5)! = (a + 5) . (a + 5 - 1)! = (a + 5) . (a + 4)!

Seguindo esse procedimento, temos que:

\dpi{120} (a+5)! = (a + 5) . (a + 4) . (a + 3) . (a+ 2). (a + 1) . a!

Resolução da questão 6

a) \dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!} = ?

Podemos reescrever o numerador da seguinte forma:

\dpi{120} (n+1)! = (n+1).(n+1 - 1)! = (n+1).n!

Dessa forma, conseguimos cancelar o termo \dpi{120} n!, simplificando o quociente:

\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1).\cancel{n!}}{\cancel{n!}} = n+1

b) \dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!} = ?

Podemos reescrever o numerador da seguinte forma:

\dpi{120} n! = n.(n- 1)!

Assim, conseguimos cancelar o termo \dpi{120} n!, simplificando o quociente:

\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n . \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} = n

c) \dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)} = ?

Podemos reescrever o numerador da seguinte forma:

\dpi{120} (n+3)! = (n+3).(n+2).(n+1). n!

Assim, podemos cancelar alguns termos do quociente:

\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}= \frac{\cancel{(n+3).(n+2).(n+1)}.n!}{\cancel{(n+3).(n+2).(n+1)}} = n!

Resolução da questão 7

Resolver a equação \dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2)! significa encontrar os valores de \dpi{120} x para os quais a igualdade é verdadeira.

Vamos começar decompondo os termos com fatorial, na tentativa de simplificar a equação:

\dpi{120} 12x! + 5(x + 1)! = (x + 2)!

\dpi{120} \Rightarrow 12x! + 5(x + 1).x! = (x + 2).(x+1).x!

Dividindo ambos os lados por \dpi{120} x!, conseguimos eliminar o fatorial da equação:

\dpi{120} \frac{12\cancel{x!}}{\cancel{x!}} + \frac{5(x + 1).\cancel{x!}}{\cancel{x!}} = \frac{(x + 2).(x+1).\cancel{x!}}{\cancel{x!}}

\dpi{120} \Rightarrow 12 + 5(x + 1) = (x + 2).(x+1)

Multiplicando os termos entre parênteses e organizando a equação, temos que:

\dpi{120} 12 + 5x + 5 = x^2 + x + 2x + 2

\dpi{120} x^2 - 2x - 15 = 0

Trata-se de uma equação do 2º grau. A partir da fórmula de Bhaskara, determinamos as raízes:

\dpi{120} x = 5 \, \mathrm{ou}\, x = -3

Por definição de fatorial, \dpi{120} x não pode ser negativo, então, \dpi{120} x = 5.

Resolução da questão 8

\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (x + 1)! + x!}

Como \dpi{120} (x+2)! = (x+2).(x+1).x! e \dpi{120} (x+1)! = (x+1).x!, podemos reescrever o quociente como:

\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2).(x+1).x! + (x + 1).x! + x!}

Como as três parcelas do denominador tem o termo \dpi{120} x!, podemos colocá-lo em evidência e cancelar com \dpi{120} x! que aparece no numerador.

\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot \cancel{x!}}{[(x+2).(x+1) + (x + 1) + 1].\cancel{x!}}

Agora, realizamos as operações que sobraram no denominador:

\dpi{120} (x+2).(x+1) + (x + 1) + 1 = x^2 + x +2x+2 +(x+1) + 1 = x^2 +4x +4

Portanto, temos:

\dpi{120} \frac{(x+2)^3}{x^2 + 4x + 4}

Como \dpi{120} x^2 + 4x + 4 = (x +2)^2, então, o quociente pode ser simplificado:

\dpi{120} \frac{(x+2)^{\cancel{3}}}{\cancel{(x+2)^2}}=x +2

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