Progressão aritmética

Progressão aritmética, ou simplesmente PA, é uma das sequências matemáticas mais comuns nas questões de vestibular e concurso. Conheça essa sequência!

Progressão aritmética (PA) é qualquer sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante (o mesmo). Esse valor constante é chamado de razão da PA.

Uma PA pode ser finita ou infinita:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → Exemplo de PA finita;

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …) → Exemplo de PA infinita, indicada com reticências (…).

Razão da PA

Os termos da PA são indicados conforme a posição que ocupam na sequência: \dpi{120} \mathrm{a_1} é o primeiro termo, \dpi{120} \mathrm{a_2} é o segundo termo, \dpi{120} \mathrm{a_3} é o terceiro termo, e assim por diante.

A razão (r) da PA é calculada a partir de dois termos consecutivos, subtraindo o termo de menor posição do termo de maior posição.

Exemplo:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) → é uma PA de razão r = 2, pois observe que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre 2:

\dpi{120} \mathrm{a_2 - a_1 = 4-2 = 2}
\dpi{120} \mathrm{a_3 - a_2 = 6-4 = 2}
\dpi{120} \mathrm{a_4 - a_3 = 8-6 = 2}

E assim sucessivamente.

Classificação da PA

A PA é classificada de acordo com o valor de r.

PA constante

Uma PA é constante quando r = 0, e isso acontece quando os termos são todos iguais.

Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) ⇒ r = 2 – 2 = 0

PA crescente

Uma PA é crescente quando r > 0, e isso acontece quando os termos aumentam conforme a posição aumenta.

Exemplo: (10, 15, 20, 25, 30) ⇒ r = 15 – 10 = 5

PA decrescente

Uma PA é crescente quando r < 0, e isso acontece quando os termos diminuem conforme a posição aumenta.

Exemplo: (10, 5, 0, -5, -10, -15) ⇒ r = 5 – 10 = -5

Termo geral da PA

Chamando de \dpi{120} \mathbf{a_n} um termo qualquer da PA, o seu valor pode ser encontrado a partir da seguinte fórmula:

\dpi{120} \mathbf{a_n = a_1+(n-1)\cdot r}

Em que:

\dpi{120} \mathbf{a_1}: é o primeiro termo da PA;
\dpi{120} \mathbf{n}: posição do termo que queremos calcular;
\dpi{120} \mathbf{r}: razão da PA.

Exemplo:

Qual o 18º termo da sequência (59, 57, 55, 53, 51, 49, 47, … )?

A sequência é uma PA com r = 57 – 59 = – 2. Sendo \dpi{120} \mathrm{a_1 = 59}, vamos calcular o valor do termo \dpi{120} \mathrm{a_{18}}:

\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 59+(18-1)\cdot (-2)}

\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 59+(17)\cdot (-2)}

\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 59- 34}

\dpi{120} \mathrm{a_{18} = 25}

Soma dos termos de uma PA

Podemos calcular a soma dos termos de uma PA a partir da seguinte fórmula:

\dpi{120} \mathbf{S_n=\frac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}}

Em que:

\dpi{120} \mathbf{n}: número de termos que desejamos somar;
\dpi{120} \mathbf{a_1}: é o primeiro termo da PA;
\dpi{120} \mathbf{a_n}: é o último termo que queremos somar.

Exemplo:

Calcule a soma dos 18 primeiros termos da PA (59, 57, 55, 53, 51, 49, 47, … ).

No exemplo anterior, verificamos que \dpi{120} \mathrm{a_{18} = 25}. Então, vamos calcular \dpi{120} \mathrm{S_{18}} utilizando a fórmula da soma dos termos da PA:

\dpi{120} \mathrm{S_{18}=\frac{18\cdot (59+25)}{2}}

\dpi{120} \mathrm{S_{18}=\frac{18\cdot 84}{2}}

\dpi{120} \mathrm{S_{18}= 756}

Propriedades da PA

Conheça, a seguir, as principais propriedades da PA, que possibilitam resolver diversos problemas envolvendo esse tipo de sequência.

Propriedade 1 — A soma de dois termos que estão a uma mesma distância do centro de uma PA finita é um valor constante, ou seja, é igual.

Exemplos:

a) PA: (12, 20, 28, 36, 44, 52, 60)

(12, 20, 28, 36, 44, 52, 60)  -> 12 + 60 = 72

(12, 20, 28, 36, 44, 52, 60)  -> 20 + 52 = 72

(12, 20, 28, 36, 44, 52, 60)  -> 28 + 44 = 72

b) PA: (7, 5, 3, 1, -1, -3)

(7, 5, 3, 1, -1, -3)  -> 7 + (-3) = 4

(7, 5, 3, 1, -1, -3)  -> 5 + (-1) = 4

(7, 5, 3, 1, -1, -3)  -> 3 + 1 = 4

Propriedade 2 — Considerando 3 termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é igual à média dos outros dois termos.

Exemplo:

PA: (10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, 6) 

(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, 6)  ->  \dpi{120} \frac{{\color{Blue} 10}+ {\color{Blue} 6}}{2} = {\color{Red} 8}

(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, 6)  ->  \dpi{120} \frac{{\color{Blue} 4}+ {\color{Blue} 0}}{2} = {\color{Red} 2}

(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, 6)  ->  \dpi{120} \frac{{\color{Blue} 0}+ ({\color{Blue} -4})}{2} = {\color{Red} -2}

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