Múltiplos e divisores – O que são e como encontrar

Os conceitos de múltiplos e divisores são muito importantes na matemática e a resolução de uma porção de cálculos depende deles. Saiba o que são e como encontrá-los.


Os conceitos de múltiplos e divisores são muito importantes na matemática e a resolução de uma porção de cálculos depende deles. Por isso, preparamos esse artigo. Vamos explicar o que são múltiplos e divisores e mostrar como encontrá-los.

Múltiplos de um número

A palavra múltiplo está relacionada a multiplicação. Desse modo, temos que:

Para obter os múltiplos de um número basta multiplicar esse número pela sucessão dos números naturais: \dpi{120} \mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.

Por exemplo, para obter os múltiplos de 2 fazemos:

\dpi{120} \begin{matrix} 2 &\times& 0 &=& 0\\ 2 &\times& 1 &=& 2\\ 2 &\times& 2 &=& 4\\ 2 &\times& 3 &=& 6\\ 2 &\times& 4 &=& 8\\ 2 &\times& 5 &=& 10\\ 2 &\times& 6 &=& 12\\ 2 &\times& 7 &=& 14 \end{matrix}              \dpi{120} \begin{matrix} 2 &\times& 8 &=& 16\\ 2 &\times& 9 &=& 18\\ 2 &\times& 10 &=& 20\\ 2 &\times& 11 &=& 22\\ 2 &\times& 12 &=& 24\\ 2 &\times& 13 &=& 26\\ \\ &\cdots& \end{matrix}

Então, o conjunto dos múltiplos de 2 é:

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, …}.

Os mútiplos de 3:

\dpi{120} \begin{matrix} 3 &\times& 0 &=& 0\\ 3 &\times& 1 &=& 3\\ 3 &\times& 2 &=& 6\\ 3 &\times& 3 &=& 9\\ 3 &\times& 4 &=& 12\\ 3 &\times& 5 &=& 15\\ 3 &\times& 6 &=& 18\\ 3 &\times& 7 &=& 21 \end{matrix}              \dpi{120} \begin{matrix} 3 &\times& 8 &=& 24\\ 3 &\times& 9 &=& 27\\ 3 &\times& 10 &=& 30\\ 3 &\times& 11 &=& 33\\ 3 &\times& 12 &=& 36\\ 3 &\times& 13 &=& 39\\ \\ &\cdots& \end{matrix}

Assim,  o conjunto dos múltiplos de 3 é:

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, …}.

As reticências (…), no conjunto dos múltiplos de 2 e de 3, indicam que esses conjuntos são infinitos, ou seja, existem infinitos múltiplos de 2 e infinitos múltiplos de 3.

Isso vale para qualquer outro número, os múltiplos são infinitos.

Divisores de um número

Como os múltiplos de um número estão relacionados à multiplicação, você já deve imaginar que os divisores estão relacionados à divisão.

De fato, temos que:

Os divisores de um número são aqueles números para os quais obtemos uma divisão exata (resto zero).

Por exemplo, 10 dividido por 5 é uma divisão exata, então dizemos que 5 é divisor de 10.

Além disso, temos que:

Os divisores de um número \dpi{120} m são os números de quem \dpi{120} m é múltiplo, isto é, são todos os fatores da multiplicação na qual o produto (resultado) é igual a \dpi{120} m.
No caso do número 10, temos que:
  • 1 x 10 = 10

O produto é 10, então dizemos que os fatores, 1 e 10, são divisores de 10;

  • 2 x 5 = 10

O produto é 10, então dizemos que os fatores, 2 e 5, são divisores de 10.

Então, os divisores do número 10 são: 1, 2, 5 e 10, isto é, o conjunto dos divisores de 10 é:

D (10) = {1, 2, 5, 10}.

E, como a gente poderia mostrar que um número como 3, por exemplo, não é um divisor de 10?

É simples: o resto da divisão de 10 por 3 não é zero, então 3 não é divisor de 10.

Além disso, o número 3 só seria divisor de 10, se existisse um número natural \dpi{120} n, tal que:

3 x \dpi{120} n = 10

Como não existe um número natural que ao ser multiplicado por 3 o resultado é 10, então, concluímos que 3 não é divisor de 10.

Vamos ver mais alguns exemplos:

Divisores de 24:

1 x 24 = 24        2 x 12 = 24        3 x 8 = 24       4 x 6 = 24

Como em todas essas multiplicações o produto é 24, os fatores são divisores de 24, isto é:

D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.

Divisores de 30:

1 x 30 = 30        2 x 15 = 30        3 x 10 = 30        5 x 6 = 30

Como em todas essas multiplicações o produto é 30, os fatores são divisores de 30, ou seja:

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

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