Números perfeitos e números amigos – Saiba o que são e veja exemplos

Você já ouviu falar em números perfeitos e em números amigos? Aprenda o que são, como saber quais números são perfeitos e quais são amigos e veja exemplos deles.

Temos diversos tipos de classificações para os números: números pares ou ímpares, números naturais, números reais, números primos, e mais um monte.

Mas você já ouviu falar em números perfeitos e em números amigos? Pois eles existem e tem características bem peculiares e interessantes.

Fique com a gente até o final e você vai se surpreender!

O que é um número perfeito?

Número perfeito é um tipo de classificação para um número natural maior que 1, isto é,  para números como  \dpi{120} 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... .

E como verificamos se um número é perfeito ou não? 

Um número natural \dpi{120} n, com \dpi{120} n>1,  é chamado de número perfeito quando ele é igual a soma de todos os seus divisores próprios (que são os divisores naturais, excluindo ele mesmo).

Os números perfeitos foram chamados dessa forma pelos discípulos do grande matemático Pitágoras, mais conhecidos como pitagóricos.

Vamos ver alguns exemplos desses números?!

Exemplo: O número 6 é um número perfeito. Vamos ver o porquê:

Os divisores naturais do número 6 são: 1, 2, 3, e 6, ou seja, esses são os números tais que ao fazermos a divisão de 6 por cada um deles, obtemos uma divisão exata (resto igual a 0).

Vamos somar todos os divisores próprios de 6, isto é, somar os números 1, 2 e 3:

\dpi{120} 1+2+3=6

A soma deu 6, por isso o 6 é um número perfeito.

Agora, vamos ver um contra-exemplo, ou seja, um exemplo de um número que não é número perfeito.

Contra-exemplo: O número 8 não é um número perfeito. Veja:

Os divisores naturais do número 8 são: 1, 2, 4 e 8.

A soma dos divisores próprios é: \dpi{120} 1 + 2+ 4 =7, que é diferente de 8.

Assim, o 8 não é um número perfeito.

Encontrar números perfeitos não é algo tão comum, pois eles são raros. Depois do 6, o próximo número perfeito é o 28. Seus divisores próprios são: 1, 2, 4, 7 e 14 (verifique que a soma deles é 28).
Em seguida, vem os números: 496,  8.128,  33.550.336 e 8.589.869.056. Observe a quantidade de dígitos que tem esse último número, e ele é apenas o 6º número perfeito.

Agora, vamos ver um outro tipo de classificação, também atribuída aos pitagóricos: a de números amigos. 

O que são números amigos?

Na matemática, dois números são chamados de números amigos quando cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro.

Veja um exemplo:

Exemplo: Os números 220 e 284 são números amigos.

Os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110

\dpi{120} 1+ 2+ 4+ 5+ 10+ 11+ 20+ 22+ 44+ 55+ 110 = 284

Os divisores próprios de 284 são: 1, 2, 4, 71, 142.

\dpi{120} 1+ 2+ 4+ 71+ 142=220

Então, os números 220 e 284 são números amigos. Além disso, saiba que eles são os menores números amigos conhecidos.

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