Regra de três – Veja os tipos e aprenda como calcular

A regra de três é um processo matemático, muito prático, usado para encontrar um valor desconhecido em problemas que envolvem duas ou mais grandezas. Veja quais os tipos e exemplos de como calcular.

A regra de três é um processo matemático, muito prático, usado para encontrar um valor desconhecido em problemas que envolvem duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Nesse sentido, existem dois tipos de regra de três:

  • Regra de três simples: quando o problema envolve duas grandezas;
  • Regra de três composta: quando o problema envolve três ou mais grandezas.

Regra de três simples – Exemplos

A regra de três simples é usada quando temos duas grandezas, sejam elas diretamente ou inversamente proporcionais, e queremos encontrar um valor desconhecido.

Exemplo 1. Na bula de certo medicamento infantil, recomenda-se a dosagem de 5 gotas para cada 2 kg de massa da criança. Para uma criança que tem 18 kg, quantas gotas desse medicamento ela deve tomar?

Temos duas grandezas: dosagem do medicamento e massa corporal da criança. Vamos chamar de \dpi{120} x o valor que queremos encontrar e montar uma tabela organizando as informações disponíveis:

Massa corporal Dosagem
2 kg 5 gotas
18 kg \dpi{120} x

Observe que \fn_phv \begin{table}[h] \caption{Um nome qualquer} \end{table}ao aumentar a massa corporal, a quantidade de gotas também deverá aumentar, ou seja, temos duas grandezas diretamente proporcionais. Então, montamos a proporção:

\dpi{120} \frac{2}{18}=\frac{5}{x}

Usando a propriedade fundamental das proporções, ou seja, “multiplicando cruzado”, temos:

\dpi{120} 2x=5 \cdot 18 \Rightarrow 2x=90 \Rightarrow x=\frac{90}{2}\Rightarrow x=45

Então, encontramos o valor \dpi{120} x=45, o que significa que a criança com 18 kg deverá tomar 45 gotas do medicamento.

Exemplo 2. Em um treino de Fórmula 1, um piloto fez o percurso em 18 segundos, com uma velocidade média de 200 km/h. Supondo que a velocidade média fosse de 240 km/h, qual seria o tempo gasto no percurso?

As grandezas são: velocidade e tempo. Assim,  podemos construir a seguinte tabela:

Velocidade Tempo
200 km/h 18 s
240 km/h \dpi{120} x

Quando a velocidade aumenta, o tempo gasto diminui. Temos, então, duas grandezas inversamente proporcionais. Nesse caso, como as grandezas são inversamente proporcionais, montamos a proporção considerando a ordem inversa dos elementos de uma das colunas.

Escolhendo a coluna Tempo, por exemplo, e trocando os elementos 18 s e \dpi{120} x  de lugar, temos a seguinte proporção:\dpi{120} \frac{200}{240}=\frac{x}{18}

Resolvendo:\dpi{120} 240x=18 \cdot 200 \Rightarrow 240x=3600 \Rightarrow x=\frac{3600}{240}\Rightarrow x=15

Assim, considerando a velocidade média de 240 km/h, o tempo gasto seria de 15 segundos.

É sempre bom observar se o resultado obtido está coerente com o problema. Observe que o tempo encontrado é menor que 18 segundos, o que era esperado, já que aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso deve diminuir. Por outro lado, um valor maior que 18 indicaria que fizemos contas erradas. Fique atento!

Regra de três composta – Exemplos

Para situações que envolvem três ou mais grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, na qual deseja-se determinar um valor desconhecido, usa-se a regra de três composta.

Exemplo 1. Trabalhando 6 dias, 5 operários conseguem produzir 400 peças. Quantas peças serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho?

Temos três grandezas: número de operários, número de dias e número de peças. Organizando em uma tabela:

Número de operários Número de dias Número de peças
5 6 400
7 9 \dpi{120} x

Queremos encontrar um valor referente a grandeza número de peças, então vamos relacionar tal grandeza com as outras duas restantes:

  • Número de peças e número de dias: são diretamente proporcionais, pois aumentando o número de dias, também aumentamos o número de peças.
  • Número de peças e número de operários: são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentando o número de operários, também aumentamos o número de peças;

Assim, temos a seguinte proporção:

\dpi{120} \frac{5}{7} \cdot \frac{6}{9}=\frac{400}{x} \Rightarrow \frac{30}{63} = \frac{400}{x}

Resolvendo:\dpi{120} 30x=400 \cdot 63 \Rightarrow 30x=25200 \Rightarrow x=\frac{25200}{30}\Rightarrow x=840

Ou seja, serão produzidas 840 peças se 7 operários trabalharem por 9 dias.

Exemplo 2.  Um ciclista percorre, em média, 100 km em 2 dias, pedalando 2 horas por dia. Se esse ciclista pedalar 4 horas por dia, em quantos dias percorrerá 500 km?

Número de km Número de horas pedaladas Número total de dias
100 2 2
500 4 \dpi{120} x

Queremos encontrar um valor da grandeza número de dias, então vamos relacionar tal grandeza com as outras duas restantes:

  • Número de dias e número de km: são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentando o número de km, também aumentamos o número total de dias;
  • Número de dias e número de horas pedaladas: são inversamente proporcionais, pois aumentando o número de horas pedaladas por dia, diminuímos o número total de dias.

Assim, temos a seguinte proporção:

\dpi{120} \frac{100}{500} \cdot \frac{4}{2}=\frac{2}{x} \Rightarrow \frac{400}{1000} = \frac{2}{x}

Observe que invertemos a ordem dos valores da coluna número de horas pedaladas, já que essa grandeza é inversamente proporcional a grandeza número total de dias.

Resolvendo:\dpi{120} 400x=2 \cdot 1000 \Rightarrow 400x=2000 \Rightarrow x=\frac{2000}{400}\Rightarrow x=5

Logo, se o ciclista pedalar 4 horas por dia,  para que percorra 500 km, é necessário um total de 5 dias.

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