Relações métricas no triângulo retângulo

Além do Teorema de Pitágoras, temos outras cinco relações muito importantes entre as medidas de um triângulo retângulo. Aprenda quais são e como usar.


As relações métricas em um triângulo são as relações existentes entre as suas medidas.

No triângulo retângulo, a relação mais famosa é dita pelo Teorema de Pitágoras. Mas, além dessa, existem outras cinco relações muito úteis, que possibilitam resolver uma porção de problemas envolvendo esse tipo de triângulo.

Antes de apresentar as relações métricas do triângulo retângulo, é importante entender alguns conceitos: os elementos de um triângulo retângulo e semelhança entre triângulos no triângulo retângulo.

Elementos de um triângulo retângulo

Os elementos de um triângulo retângulo são:

  • a → hipotenusa
  • b → cateto
  • c → cateto
  • h → altura do triângulo (relativa à hipotenusa)
  •  projeção do cateto c sobre a hipotenusa
  • n → projeção do cateto b sobre a hipotenusa

triângulo retângulo elementos- semelhança

Triângulos semelhantes em um triângulo retângulo

Observe que a altura (h) divide o triângulo ABC, apresentado anteriormente, em outros dois triângulos:

Semelhança no triângulo retângulo

Temos uma propriedade muito interessante entre os triângulos ABC, HBA e HAC: eles são triângulos semelhantes.

Triângulos semelhantes possuem ângulos correspondentes com a mesma medida e lados correspondentes proporcionais.

Relações métricas no triângulo retângulo

Relação 1. Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos que:

\dpi{120} \bg_white \frac{a}{c}=\frac{c}{m}\Rightarrow c^2=a\cdot m

Essa relação nos diz que o quadrado do cateto c é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção desse cateto.

Relação 2. Da semelhança entre os triângulos ABC e HAC, temos que:

\dpi{120} \bg_white \frac{a}{b}=\frac{b}{n}\Rightarrow b^2=a\cdot n

É similar a relação anterior, ela nos diz que o quadrado do cateto b é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção desse cateto.

Relação 3. Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA (ou dos triângulos ABC e HAC), temos que:

\dpi{120} \bg_white \frac{a}{b}=\frac{c}{h}\Rightarrow a\cdot h=c\cdot b

Por essa relação, temos que o produto entre a hipotenusa e a altura é igual ao produto entre os catetos.

Relação 4. Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC, temos que:

\dpi{120} \bg_white \frac{m}{h}=\frac{h}{n}\Rightarrow h^2=m\cdot n

Aqui, temos que o quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos.

Relação 5. Essa é, sem dúvidas, a relação mais simples de ser verificada. Observe no triângulo retângulo ABC que:

\dpi{120} \bg_white a = m +n

Ou seja, nos diz que a hipotenusa é igual a soma das projeções dos catetos.

Teorema de Pitágoras

Relação 6. Pelo Teorema de Pitágoras, temos que: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, isto é,

\dpi{120} \bg_white a^2 = b^2 +c^2

Quando devemos usar o Teorema de Pitágoras? Quando queremos encontrar a medida de um dos lados do triângulo, sendo conhecidas as medidas dos seus outros dois lados.

Resumo de fórmulas

Relação 1  \dpi{120} c^2=a\cdot m 

Relação 2 → \dpi{120} b^2=a\cdot n

Relação 3 \dpi{120} a\cdot h=c\cdot b

Relação 4 \dpi{120} h^2=m\cdot n

Relação 5 \dpi{120} \bg_white a = m+n

Relação 6 \dpi{120} \bg_white a^2 = b^2 +c^2

Exemplos

1. Qual a altura de um triângulo com projeções dos catetos sobre a hipotenusa iguais a 10 e 40 centímetros?

Pela relação 4, temos que:

\dpi{120} \flushleft h^2=m\cdot n \\ h^2=10\cdot 40\\ h^2=400\\ h = \sqrt{400}\\ h = 20

O triângulo tem 20 cm de altura.

2. Sabendo que os valores das projeções dos catetos sobre a hipotenusa são 12 cm e 5 cm, encontre a hipotenusa.

Usando a relação 5, temos que:

\dpi{120} \flushleft a = m +n\\ a = 12+5 \\ a = 17

A hipotenusa é igual a 17 cm.

3. Encontre a medida desconhecida do lado de um triângulo cuja hipotenusa é 150 e um dos catetos é igual a 90.

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

\dpi{120} \flushleft a^2 = b^2+c^2\\ 150^2 = 90^2+c^2 \\ c^2 = 150^2-90^2\\ c^2 = 22.500-8.100\\ c^2 = 14.400 \\ c = \sqrt{14.400}\\ c = 120

O valor do outro cateto é 120.

Veja também:

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