Tangência à circunferência

Saiba como verificar se existem ou não retas tangentes a uma circunferência dado um ponto e como determinar a equação dessas retas.

Dado um ponto e uma circunferência em um plano, podemos determinar se existem ou não retas que passam por esse ponto e que são tangentes à circunferência.

Entenda mais sobre tangência à circunferência.

Retas tangentes à circunferência passando por um ponto

Temos três casos possíveis em relação à existência de retas tangentes à circunferência dado um ponto.

  1. Se o ponto P estiver no interior da circunferência, não há nenhuma reta tangente à circunferência que passe por ele.
  2. Se o ponto P for um ponto da circunferência, há uma única reta tangente à circunferência que passe por ele.
  3. Se o ponto P estiver no exterior da circunferência, há duas retas tangentes à circunferência que passe por ele.

Posição relativa de um ponto a uma circunferência

Para saber a posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência, basta observar a distância do centro da circunferência até o ponto e comparar com o valor do raio da circunferência.

  1. Se a distância do centro C ao ponto P é menor que o raio ⇒ Ponto P é interno ⇒ Nenhuma reta tangente.
  2. Se a distância do centro C ao ponto P é igual ao raio ⇒ Ponto P pertence à circunferência ⇒ Apenas uma reta tangente.
  3. Se a distância do centro C ao ponto P é maior que o raio ⇒ Ponto P é externo ⇒ Duas retas tangentes.

Como determinar a reta tangente a uma circunferência?

Para determinar a equação da reta tangente a uma circunferência passando por um ponto, a primeira coisa a ser feita, é verificar a posição relativa do ponto, para saber se não há nenhuma, uma ou duas retas tangentes.

Em seguida, determinamos a equação reduzida da reta que passa pelo ponto \dpi{120} \mathrm{P(x_0,y_0)} e cujo coeficiente angular é \dpi{120} \mathrm{m}.

\dpi{120} \mathrm{y - y_0 = m(x-x_0)}

O ponto P já conhecemos, mas e o coeficiente angular, como podemos calcular?

Uma das formas, é utilizar a fórmula da distância do centro \dpi{120} \mathrm{C(x_c, y_c)} da circunferência até a reta tangente t:

\dpi{120} \mathrm{d_{C,t} = \frac{ax_c+by_c+c}{\sqrt{a^2 + b^2}}}

Exemplo

Determine a equação da reta tangente à circunferência \dpi{120} \mathbf{y^2 + x^2 = 4} e que passa pelo ponto P(5,1).

Veja que na circunferência, temos centro C(0,0) e r = √4 = 2.

A primeira coisa que vamos fazer é verificar a posição relativa do ponto P à circunferência, usando a fórmula da distância entre dois pontos:

\dpi{120} \mathrm{d_{C, P}} = \sqrt{(0 - 5)^2 +(0-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\approx 5,09

Como r = 2, então, \dpi{120} \mathrm{d_{C,P}> r}, o que significa que o ponto é externo à circunferência e existem duas retas tangentes à circunferência passando pelo ponto P.

Substituindo o ponto P(5,1) na equação reduzida da reta, temos que a equação das retas tangentes é:

\dpi{120} \mathrm{y - 1 = m(x-5)}

Fazendo algumas manipulações simples, obtemos a equação geral (ax + by + c = 0) das retas tangentes:

\dpi{120} \mathrm{ m x - y - 5m + 1 = 0 }

Sendo a = m, b = -1 e c = -5m + 1.

A diferença entre essas duas retas tangentes é dada pelo valor do coeficiente angular m. Vamos utilizar a fórmula da distância entre o centro C e a reta tangente, para determinar m.

\dpi{120} \mathrm{d_{C,t} = \frac{ax_c+by_c+c}{\sqrt{a^2 + b^2}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{d_{C,t} = \frac{mx_c-1y_c - 5m +1}{\sqrt{m^2 + 1}}}

Sendo C(0,0), temos:

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{d_{C,t} = \frac{m.0-1.0 - 5m +1}{\sqrt{m^2 + 1}}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{d_{C,t} = \frac{- 5m +1}{\sqrt{m^2 + 1}}}

Como a distância do centro da circunferência até a reta tangente (qualquer uma delas) é igual ao raio da circunferência, ou seja, \dpi{120} \mathrm{d_{C,t} =2}, temos que:

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{- 5m +1}{\sqrt{m^2 + 1} }=2}

Resolvendo essa equação, podemos determinar o valor de m:

\dpi{120} \mathrm{- 5m + 1 = 2.\sqrt{m^2 + 1}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{(- 5m + 1)^2 = 4.(m^2 + 1)}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{25m^2 -10m + 1 = 4m^2 + 4}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{21m^2 -10m - 3 = 0}

Essa última equação é uma equação do 2º grau, suas raízes podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara:

\dpi{120} \mathrm{m' \approx 0,68}

\dpi{120} \mathrm{{m}'' \approx -0,20}

Portanto, esses são os coeficientes angulares das retas tangentes à circunferência. Basta substituir esses valores na equação: \dpi{120} \mathrm{ m x - y - 5m + 1 = 0 }.

\dpi{120} \mathrm{m = 0,68}:

\dpi{120} \mathrm{ 0,68 x - y - 5\cdot 0,68 + 1 = 0 }

\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{ 0,68 x - y - 2,4 = 0 }

\dpi{120} \mathrm{m = -0,20}:

\dpi{120} \mathrm{ -0,20 x - y - 5\cdot (-0,20) + 1 = 0 }

\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{ -0,20 x - y +2 = 0 }

Veja a representação das retas tangentes:

Reta tangente à circunferência

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