Adição e subtração de ângulos
Aprenda como fazer adição e subtração de medidas de ângulos com minutos e segundos.
As medidas de ângulos nem sempre são quantidades inteiras, podemos ter, por exemplo, um ângulo com medida entre 90° e 91°. Para esses casos, são utilizados os submúltiplos do grau.
As operações entre medidas de ângulos, como adição e subtração, podem envolver tais submúltiplos. Dessa forma, é necessário entender o que eles são e como se relacionam.
Submúltiplos do grau
Os submúltiplos do grau são os minutos e segundos, essas duas unidades expressam quantidades menores que um grau.
O grau, os minutos e segundos se relacionam da seguinte forma:
- 1 grau = 60 minutos
- 1 minuto = 60 segundos
É comum utilizar símbolos para graus (°), minutos (‘) e segundos (“). Assim, de forma equivalente, temos:
- 1° = 60′
- 1′ = 60″
Exemplo: Utilize os submúltiplos do grau para expressar um ângulo de 45,5°.
45,5° é o ângulo que está exatamente no meio dos ângulos de 45° e 46°, ou seja, são 45° mais metade de um grau.
Como 1 grau é 60 minutos, então, metade de 1 grau é 30 minutos:
1° = 60′ ⇒ 0,5° = 30′
Portanto, 45,5° = 45°30′.
Lê-se: 45 graus e 30 minutos.
Adição de ângulos
Para fazer a adição de ângulos, somamos segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Depois, simplificamos os resultados. Se após a adição tivermos:
- 60 segundos ou mais ⇒ transformamos para minutos;
- 60 minutos ou mais ⇒ transformamos para graus.
Exemplo: Adicione as medidas de ângulos.
a) 35° 20′ 10″ + 15° 30′ 8″
,,,35° 20′ 10″
+15° 30′ 8″
,,50° 50′ 18″
Portanto:
35° 20′ 10″ + 15° 30′ 8″ = 50° 50′ 18″
b) 90° 60′ + 5° 70′ 85″
,,90° 60′ 00″
+5° 70′ 85″
95° 130′ 85″
Nesse caso, devemos simplificar o resultado.
Começamos sempre pelos segundos: 95° 130′ 85″
85″ = 60″ + 15″ = 1′ + 15″ = 1′ 15″ ⇒ 95° 130′ 85″ = 95° 131′ 15″
Agora, vamos para os minutos: 95°131′15″
131′ = 60′ + 60′ + 10′ = 1° + 1° + 10′ = 2°10′ ⇒ 95°131’15” = 97°10’15”
Portanto:
90° 60′ + 5° 70′ 85″ = 97° 10′ 15″
Subtração de ângulos
Para fazer a subtração de ângulos, subtraímos segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus.
Sempre que for preciso “tomar emprestado”, devemos lembrar das relações entre os submúltiplos.
Exemplo: Calcule as subtrações entre medidas de ângulos.
a) 40° 28′ 12″ – 10° 13′ 6″
,,40° 28′ 12″
-10° 13′ 6″
,30° 15′ 6″
Portanto:
40° 28′ 12″ – 10° 13′ 6″ = 30° 15′ 6″
,,
b) 90° 25′ – 75° 20′ 30″
,,90° 25′ 00″
-75° 20′ 30″
,,,,,,,,,,,,,?
Não podemos subtrair 30 de 0. Nesse caso, precisamos “tomar emprestado” da casa dos minutos.
1′ = 60″ ⇒ a casa dos segundos vai receber 1′ emprestado, o que corresponde a receber 60″ emprestados.
,,90° 24′ 60″
-75° 20′ 30″
,15° 4′ 30″
Portanto:
90° 25′ – 75° 20′ 30″ = 15° 4′ 30″
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