Arranjo e combinação

Você fica em dúvida entre arranjo ou combinação? Não precisa mais, vamos te contar a diferença entre eles e mostrar como e quando calcular cada um usando a fórmula adequada.

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Arranjo e combinação são algumas das técnicas de análise combinatória que são utilizadas para determinar o número de maneiras que elementos podem ser agrupados, sem a necessidade de enumerar todos eles.

Saber quando usar arranjo ou combinação é simples: se a ordem dos elementos em cada grupo for relevante no número de contagens, usamos arranjo, mas, se a ordem não importar, usamos combinação.

Quer aprender como calcular arranjo e combinação e entender melhor sobre as diferenças entre eles? Continue a leitura que já vamos te explicar tudo!

Arranjo

O arranjo é o agrupamento que podemos formar com uma certa quantidade de elementos.

Nos arranjos, a ordem dos elementos dentro de cada grupo deve ser considerada, pois, trocando os elementos de posição, teremos um grupo diferente.

Para calcular o número de grupos de tamanho \dpi{120} p que podem ser formados com \dpi{120} n elementos, utilizamos a seguinte fórmula de arranjo:

\dpi{150} A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}

Uma observação é que quando o número de elementos em cada grupo for igual ao número total de elementos, ou seja, quando \dpi{120} p = n, a fórmula acima se reduz a \dpi{120} n!, e temos o que chamamos de permutação.

Na fórmula, o símbolo de exclamação (!) indica fatorial. Caso você não se lembre, para calcular o fatorial de um número, basta multiplicar o número por todos os seus antecessores até chegar ao 1.

Exemplo: 6! = 6 . 5. 4. 3. 2. 1 = 720.

Agora, vamos ver um exemplo de como utilizar a fórmula de arranjos.

Exemplo: Quantos números de três algarismos podemos formar com os números de 1 a 7?

Resolução:

São 7 elementos para formar grupos de tamanho 3 e a ordem dentro de cada grupo importa. Veja que com os números 1, 2 e 3, podemos formar vários números diferentes: 123, 132, 213, 231, 321 e 312.

Então, vamos calcular o número de arranjos:

\dpi{120} A_{7,3} = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!}} = 7\cdot 6\cdot 5\ = 210

Portanto, podemos formar 210 números diferentes com três algarismos utilizando os números de 1 a 6.

Combinação

A combinação também é o agrupamento que podemos formar com uma certa quantidade de elementos.

Contudo, nas combinações, a ordem dos elementos dentro de cada grupo não é considerada, pois, trocando os elementos de posição, teremos um mesmo grupo.

Levando isso em conta, para calcular o número de grupos de tamanho \dpi{120} p que podem ser formados com \dpi{120} n elementos, utilizamos a seguinte fórmula de combinação:

\dpi{150} C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}

Existem algumas formas alternativas de representar uma combinação. Por exemplo, você pode ver \dpi{120} C_{n,p} escrito como \dpi{120} \binom{n}{p}, mas não se preocupe, a fórmula é a mesma.

Então, que tal ver um exemplo de como utilizar a fórmula de combinação?

Exemplo: Quantos grupos de três alunos podem ser formados entre os alunos: Ana, Vitor, Lucas, Elisa, Davi, Igor e Sara.

Resolução:

São 7 alunos para formar grupos de tamanho 3 e a ordem dentro de cada grupo não importa. Por exemplo, Ana, Lucas e Sara é o mesmo grupo que Sara, Ana e Lucas.

Então, vamos calcular o número de combinações:

\dpi{120} C_{7,3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! 4!} = \frac{7\cdot 6\cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{3!\cancel{4!}} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1} = 35

Diferença entre arranjo e combinação

A diferença entre arranjo e combinação é que no arranjo a ordem dos elementos importa e, na combinação, não importa.

Anote essa dica: quando a troca da ordem dos elementos de cada grupo formar um grupo diferente, use arranjo. Caso contrário, use combinação.

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