Lista de exercícios de máximo divisor comum (MDC)

Confira uma lista de exercícios resolvidos sobre máximo divisor comum. Aprenda a calcular e resolver problemas envolvendo MDC.

Por Elainy Marciano Publicado em 14/07/2020 - 16:34

O máximo divisor comum (MDC), entre dois ou mais números, é um número que é divisor de todos eles e também é o maior possível.

Podemos determinar o MDC ao encontrar todos os divisores de cada número e, em seguida, verificar qual o maior divisor comum entre eles.

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Contudo, uma forma prática de calcular MDC é a partir da decomposição em fatores primos. Nesse caso, o MDC é dado pelo produto dos fatores comuns de menor expoente.

Para saber mais sobre esse assunto, confira uma lista de exercícios de máximo divisor comum (MDC) com resolução.

Lista de exercícios de máximo divisor comum (MDC)

Questão 1. Encontre todos os divisores de 8 e 12 e determine o MDC entre eles.

Questão 2. Encontre todos os divisores de 6 e 9 e 15 e determine o MDC entre eles.

Questão 3. Faça a decomposição em fatores primos dos números 18 e 21 e calcule o MDC entre eles.

Questão 4. Faça a decomposição em fatores primos dos números 72, 81 e 126 e calcule o MDC entre eles.

Questão 5. Qual o maior número pelo qual podemos dividir, simultaneamente, os números 48 e 98?

Questão 6. Uma professora tem 16 metros de fita azul e 24 metros de fita vermelha. Ela deseja cortá-las em pedaços do mesmo tamanho, mas que tenham o maior comprimento possível.

Qual será o tamanho de cada fita e qual o número de fitas azuis e vermelhas ela vai obter?

Questão 7. Um comerciante deseja colocar 5200 tomates e 3400 batatas em caixas, de tal forma que cada caixa tenha a mesma quantidade e que seja a maior possível.

Determine o número de tomates e batatas em cada caixa e o número de caixas necessárias.

Questão 8. Uma produtora de suco integral possui três filiais e deseja fazer o transporte das garrafas produzidas, por dia, em cada uma delas, em caminhões que levem a mesma quantidade e que seja a maior possível.

Se as produções diárias são de 240, 300 e 360 garrafas, quantas garrafas cada caminhão deve transportar? Qual o número de caminhões por filial?

Resolução da questão 1

Divisores de cada número:

D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Divisores comuns: 1, 2 e 4
Máximo divisor comum: 4

MDC(8,12) = 4

Resolução da questão 2

Divisores de cada número:

D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(9) = {1, 3, 9}
D(15) = {1, 3, 5, 15}

Divisores comuns: 1, 2, 3
Máximo divisor comum: 3

MDC(6, 9, 15) = 3

Resolução da questão 3

Decomposição em fatores primos de 18:

18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 18 = 2 . 3 . 3

Decomposição em fatores primos de 21:

21 | 3
7 | 7
1 ⇒ 21 = 3 . 7

Então, 18 e 21 só possuem um fator comum: 3

Portanto, MDC(18, 21) = 3.

Resolução da questão 4

Decomposição em fatores primos de 72:

72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3

Decomposição em fatores primos de 81:

81 | 3
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 ⇒ 81 = 3 . 3 . 3 . 3

Decomposição em fatores primos de 126:

126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 ⇒ 126 = 2 . 3 . 3 . 7

MDC(72, 81, 126) = 3 . 3 = 9

Resolução da questão 5

O maior número pelo qual podemos dividir 48 e 98, simultaneamente, é o MDC entre eles.

Decomposição em fatores primos de 48:

48 | 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3

Decomposição em fatores primos de 98:

98 | 2
49 | 7
7 | 7
1 ⇒ 98 = 2 . 7 . 7

MDC(48, 98) = 2

Logo, o maior número pelo qual podemos dividir ambos os números, 48 e 98, é o número 2.

Resolução da questão 6

O maior comprimento possível, igual entre as fitas azuis e vermelhas, é o MDC entre 16 e 24.

Decomposição em fatores primos de 16:

16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2 . 2 . 2 . 2

Decomposição em fatores primos de 24:

24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2 . 2 . 2 . 3

MDC(16, 24) = 2 . 2 . 2 = 8

Portanto, cada pedaço de fita deverá ter 8 metros.

16 : 8 = 2 ⇒ serão 2 fitas azuis.
24 : 8 = 3 ⇒ serão 3 fitas vermelhas.

Resolução da questão 7

A maior quantidade em cada caixa, igual para tomates e batatas, é o MDC entre 5200 e 3400.

Decomposição em fatores primos de 5200:

5200 | 2
2600 | 2
1300 | 2
650 | 2
325 | 5
65 | 5
13 | 13
1 ⇒ 5200 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 5 . 13

Decomposição em fatores primos de 3400:

3400 | 2
1700 | 2
850 | 2
425 | 5
85 | 5
17 |17
1 ⇒ 5200 = 2 . 2 . 2 . 5 . 5 . 17

MDC(5200, 3400) = 2 . 2 . 2 . 5 . 5 = 200

Portanto, cada caixa deverá ter 200 tomates ou batatas.

5200 : 200 = 26 ⇒ serão 26 caixas de tomates.
3400 : 200 = 17 ⇒ serão 17 caixas de batatas.

Ao todo, serão necessárias 26 + 17 = 43 caixas.

Resolução da questão 8

A maior quantidade de garrafas transportadas em cada caminhão, igual para as três filiais, é o MDC entre 240, 300 e 360.

Decomposição em fatores primos de 240:

240 | 2
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 ⇒ 240 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5

Decomposição em fatores primos de 300:

300 | 2
150 | 2
75 | 3
25 | 5
5 | 5
1 ⇒ 300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5

Decomposição em fatores primos de 360:

360 | 2
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 ⇒ 360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5

MDC(240, 300, 360) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60

Portanto, cada caminhão deverá transportar 60 garrafas de suco.

240 : 60 = 4 ⇒ serão 4 caminhões para a filial que produz 240 garrafas.
300 : 60 = 5 ⇒ serão 5 caminhões para a filial que produz 300 garrafas.
360 : 60 = 6 ⇒ serão 6 caminhões para a filial que produz 360 garrafas.

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