Exercícios de números complexos: Lista de questões resolvidas e gabarito

Os números complexos possibilitam resolver problemas matemáticos que não possuem soluções no conjunto dos números reais.

Em um número complexo escrito como $\dpi{120} z = a+ bi$ , dizemos que $\dpi{120} a$ é a parte real, $\dpi{120} b$ é a parte imaginária e $\dpi{120} i =\sqrt{-1}$ é a unidade imaginária.

Para realizar operações com números complexos, existem algumas expressões que facilitam os cálculos. Considere $\dpi{120} z_1 = a+ bi$ e $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

Expressão da adição entre números complexos:

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d)i$

Expressão da subtração entre números complexos:

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d)i$

Expressão da multiplicação entre números complexos:

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - bd)+(ad +cb)i$

Expressão da divisão entre números complexos:

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2}i$

Veja, a seguir, uma lista de questões resolvidas com exercícios sobre números complexos. Aprenda a utilizar cada um dos conceitos envolvendo esses números!

Lista de exercícios sobre números complexos

Questão 1. Considerando os números complexos $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ e $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ determine o valor de $\dpi{120} A$ , quando $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Questão 2. Encontre os valores de $\dpi{120} x$ e $\dpi{120} y$ de tal forma que $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Questão 3. Considerando os números complexos $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ e $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , determine o valor de $\dpi{120} A\cdot B$ , quando $\dpi{120} A= z_1\cdot \bar{z_1}$ e $\dpi{120} B= z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Questão 4. Calcule o valor de $\dpi{120} p$ e $\dpi{120} q$ para que $\dpi{120} z_1 : z_2 = q + 2i$ , quando $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ e $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Questão 5. Determine o valor de $\dpi{120} a$ para que $\dpi{120} (a + 3i) : (3 + 2i)$ seja um número imaginário puro.

Questão 6. Calcule as seguintes potências da unidade imaginária $\dpi{120} i$ :

a) $\dpi{120} i^{16}$
b) $\dpi{120} i^{200}$
c) $\dpi{120} i^{829}$
d) $\dpi{120} i^{11475}$

Questão 7. Encontre a solução da equação $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ no conjunto dos números complexos.

Questão 8. Determine a solução da equação $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ no conjunto dos números complexos.

Resolução da questão 1

Temos $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ e $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ e $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ e queremos determinar o valor de $\dpi{120} A$ , quando $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Primeiro, vamos calcular $\dpi{120} 4z_3$ e $\dpi{120} 3z_1$ , separadamente:

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

Agora, vamos calcular $\dpi{120} A$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \Rightarrow A= -8 + 2i$

Resolução da questão 2

Queremos encontrar x e y de forma que $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Pela expressão da soma entre dois números complexos, temos que se:

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Rightarrow (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

Então, devemos ter $\dpi{120} (2 + y) = 3$ e $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . Vamos resolver essas duas equações para encontrar x e y.

$\dpi{120} (2 + y) = 3\Rightarrow y = 3-2\Rightarrow y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\Rightarrow x- 5 = -1 \Rightarrow x = -1 + 5 \Rightarrow x = 4$

Resolução da questão 3

Temos $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ e $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ e queremos determinar o valor de $\dpi{120} A\cdot B$ , quando $\dpi{120} A= z_1\cdot \bar{z_1}$ e $\dpi{120} B= z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Primeiro, calculamos $\dpi{120} A= z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A= z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Rightarrow A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

Pela expressão da multiplicação entre dois números complexos, temos que:

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =[4 +25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =29$

Agora, vamos calcular $\dpi{120} B= z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B= z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Rightarrow B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = 10$

Portanto, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

Resolução da questão 4

Queremos calcular o valor de $\dpi{120} p$ e $\dpi{120} q$ para que $\dpi{120} z_1 : z_2 = q + 2i$ , quando $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ e $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Isso significa encontrar $\dpi{120} p$ e $\dpi{120} q$ de forma que:

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

Pela expressão da divisão entre dois números complexos, temos que:

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[(-p)\cdot 1-3\cdot 2]}{1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

Juntando as duas condições, devemos ter:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

Ou seja:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

Vamos resolver cada uma dessas equações, começando pela segunda que só depende de p.

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rightarrow -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \Rightarrow p = -16$

Agora, encontramos q pela outra equação:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow q = 7$

Resolução da questão 5

Queremos encontrar o valor de $\dpi{120} a$ para que $\dpi{120} (a + 3i) : (3 + 2i)$ seja um número imaginário puro.

Um número imaginário puro é aquele cuja parte real é igual a zero.

Considerando a expressão da divisão entre dois números complexos, temos que:

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a\cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

Para que esse número seja imaginário puro, devemos ter:

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow a = -2$

Resolução da questão 6

Pela definição de potências e de números complexos temos que:

$\dpi{120} i^0 = 1$
$\dpi{120} i^1 = i$
$\dpi{120} i ^2 = -1$
$\dpi{120} i^3 = -i$
$\dpi{120} i^4=1$
$\dpi{120} i^5 = i$
$\dpi{120} i^6 = -1$
$\dpi{120} i^7 = -i$

Observe um padrão que se repete a cada quatro potências sucessivas: 1, i, -1 e -i.

Dessa forma, para encontrar o resultado em qualquer potência de i, basta dividir o expoente por 4. O resto da divisão será 0, 1, 2 ou 3 e esse valor será o expoente que devemos utilizar.

a) $\dpi{120} i^{16}$

16 : 4 = 4 e o resto é 0.

Então, $\dpi{120} i^{16} = i^0 = 1$ .

b) $\dpi{120} i^{200}$

200 : 4 = 50 e o resto é 0.

Então, $\dpi{120} i^{200} = i^0 = 1$ .

c) $\dpi{120} i^{829}$

829 : 4 = 207 e o resto é 1.

Então, $\dpi{120} i^{829} = i^1 = i$ .

d) $\dpi{120} i^{11475}$

11475 : 4 = 2868 e o resto é 3.

Então, $\dpi{120} i^{11475} = i^3 = -i$ .

Resolução da questão 7

Encontrar a solução de $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ .

$\dpi{120} x^2 + 9 = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow x^2 = -9$

$\dpi{120} \Rightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{-9}$

$\dpi{120} \Rightarrow x = \pm \sqrt{-9}$

$\dpi{120} \Rightarrow x = \pm \sqrt{9\cdot (-1)}$

$\dpi{120} \Rightarrow x = \pm 3\sqrt{-1}$

Como $\dpi{120} \sqrt{-1} =i$ , então, $\dpi{120} x = \pm 3 i$ .

Resolução da questão 8

Encontrar a solução de $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ .

Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

$\dpi{120} x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$

Como $\dpi{120} \sqrt{-3} = \sqrt{3\cdot (-1)} = \sqrt{3}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{3}i$ , então:

$\dpi{120} \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

Assim, temos duas soluções:

$\dpi{120} x_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ e $\dpi{120} x_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ .

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Lista de exercícios de números complexos

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d)i$

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d)i$

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - bd)+(ad +cb)i$

Lista de exercícios sobre números complexos

Resolução da questão 1

Resolução da questão 2

Resolução da questão 3

Resolução da questão 4

Resolução da questão 5

Resolução da questão 6

Resolução da questão 7

Resolução da questão 8

Elainy Marciano

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Resolução da questão 1

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$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d)i$

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d)i$

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - bd)+(ad +cb)i$