Números complexos

O números complexos são formados por uma parte imaginária que surgiu da necessidade de calcular raízes de números negativos. Aprenda a forma conjugada desses números, como fazer operações entre eles e muito mais.

Os números complexos são mais abrangentes que os números reais, eles são formados por uma parte real e uma parte imaginária.

A parte imaginária surgiu da necessidade de calcular raízes de números negativos.

Por exemplo, como calcular \dpi{120} \sqrt{-4}?

\dpi{120} \sqrt{-4}= \sqrt{ 4.(-1)}=\sqrt{4}.\sqrt{-1}=2.\sqrt{-1}

Mas quanto é \dpi{120} \sqrt{-1}? No conjunto dos números reais, não temos essa resposta, por isso foi criada a unidade imaginária.

Unidade imaginária

A unidade imaginária é representada pela letra \dpi{120} i e tem valor igual a \dpi{120} \sqrt{-1}, ou seja,

\dpi{120} \bg_green \mathbf{i = \sqrt{-1}}

Assim, no cálculo de \dpi{120} \sqrt{-4}, temos que:

\dpi{120} \sqrt{-4}=2\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i

Então, dizemos que \dpi{120} \sqrt{-4} é um número que pertence ao conjunto dos números complexos (\dpi{120} \mathbb{C}), sendo \dpi{120} 2i um número imaginário.

Podemos calcular o quadrado da unidade imaginária \dpi{120} i,veja:

\dpi{120} i^2=\sqrt{-1}^2=-1

\dpi{120} \bg_green \mathbf{\Rightarrow i^2=-1}

Forma algébrica de um número complexo

Qualquer número complexo \dpi{120} z pode ser escrito na forma algébrica:

\dpi{120} \boldsymbol{z=a +bi}

Em que:

  •  \dpi{120} a \: \mathrm{e}\: b são números reais;
  • O número \dpi{120} a é chamado de parte real e indicamos \dpi{120} Re(z) =a;
  •  O número \dpi{120} b é chamado de parte imaginária e indicamos \dpi{120} Im(z) =b.

Exemplos:

\dpi{120} \boldsymbol{z=2 +5i} \rightarrow Re(z)=2 \mathrm{\: \: e \: \:}Im(z) =5

\dpi{120} \boldsymbol{z=1 -2i} \rightarrow Re(z)=1 \mathrm{\: \: e \: \:}Im(z) =-2

\dpi{120} \boldsymbol{z=4i} \rightarrow Re(z)=0 \mathrm{\: \: e \: \:}Im(z) =4

Quando a parte real é igual a zero, o número é chamado de número imaginário puro.

Conjugado de um número complexo

O conjugado de um número complexo \dpi{120} \boldsymbol{z=a +bi} é dado por:

\dpi{120} \boldsymbol{\bar{z}=a -bi}

Ou seja, para obter o conjugado de um número, basta trocar o sinal da parte imaginária.

Exemplos:

\dpi{120} \mathrm{Se}\: \boldsymbol{z=2 +5i} \rightarrow \mathrm{Conjugado:} \: \boldsymbol{\bar{z}=2 -5i}

\dpi{120} \mathrm{Se}\: \boldsymbol{z=1 -2i} \rightarrow \mathrm{Conjugado:} \: \boldsymbol{\bar{z}=1 +2i}

\dpi{120} \mathrm{Se}\: \boldsymbol{z=4i} \rightarrow \mathrm{Conjugado:} \: \boldsymbol{\bar{z}=-4i}

Igualdade entre números complexos

Dois números complexos são iguais quando possuem a mesma parte real e a mesma parte imaginária.

Então, considerando dois números complexos \dpi{120} \boldsymbol{z_1=a_1 +b_1i} e \dpi{120} \boldsymbol{z_2=a_2 +b_2i} , eles só serão iguais se \dpi{120} \boldsymbol{a_1=a_2} e \dpi{120} \boldsymbol{b_1=b_2}.

Operações com números complexos

Podemos fazer operações com números complexos tanto de adição quanto de subtração, multiplicação e divisão, assim como fazemos entre outros tipos de números.

Adição de números complexos

Para fazer a adição entre números complexos, soma-se parte real com parte real, e parte imaginária com parte imaginária.

Exemplo: Se \dpi{120} \boldsymbol{z_1=3 +2i} e \dpi{120} \boldsymbol{z_2=-1 +5i}, qual o valor de \dpi{120} \boldsymbol{z_1+z_2} ?

  • Soma das partes reais: \dpi{120} \boldsymbol{3\: {\color{Blue} \boldsymbol{+}}\: (-1) = 3 -1 = 2}
  • Soma das partes imaginárias: \dpi{120} \boldsymbol{2i\: {\color{Blue} \boldsymbol{+}}\: 5i = 7i}

Então, \dpi{120} \boldsymbol{z_1+z_2=2+7i}.

Também podemos expressar esse cálculo da seguinte forma:

\dpi{120} \boldsymbol{z_1+z_2}

\dpi{120} \boldsymbol{(3+2i)+(-1+5i)}

\dpi{120} \boldsymbol{3+2i-1+5i}

\dpi{120} \boldsymbol{2 +7i}

Subtração de números complexos

Para fazer a subtração entre números complexos, subtrai-se parte real de parte real e parte imaginária de parte imaginária.

Exemplo: Se \dpi{120} \boldsymbol{z_1=3 +2i} e \dpi{120} \boldsymbol{z_2=-1 +5i}, qual o valor de \dpi{120} \boldsymbol{z_1-z_2} ?

  • Subtração das partes reais: \dpi{120} \boldsymbol{3 \: {\color{Blue} \boldsymbol{-}} \: (-1) = 3 +1 = 4}
  • Subtração das partes imaginárias: \dpi{120} \boldsymbol{2i\: {\color{Blue} \boldsymbol{-}}\: 5i = -3i}

Então, \dpi{120} \boldsymbol{z_1-z_2=4-3i}.

Também podemos expressar esse cálculo da seguinte forma:

\dpi{120} \boldsymbol{z_1-z_2}

\dpi{120} \boldsymbol{(3+2i)-(-1+5i)}

\dpi{120} \boldsymbol{3 +2i+1-5i}

\dpi{120} \boldsymbol{4 -3 i}

Multiplicação de números complexos

Para fazer a multiplicação entre números complexos, utiliza-se a propriedade distributiva: multiplica-se cada termo do primeiro fator por cada termo do outro fator.

Exemplo: Se \dpi{120} \boldsymbol{z_1=3 +2i} e \dpi{120} \boldsymbol{z_2=-1 +5i}, qual o valor de \dpi{120} \boldsymbol{z_1\cdot z_2} ?

\dpi{120} \boldsymbol{z_1\cdot z_2}

Multiplicação de números complexos

\dpi{120} \boldsymbol{-3+15i-2i+10i^2}

\dpi{120} \boldsymbol{-3+15i-2i+10\cdot (-1)}\dpi{120} \boldsymbol{-3+15i-2i-10}\dpi{120} \boldsymbol{-13+13i}Na quarta linha usamos o fato de que \dpi{120} \mathbf{ i^2=-1}.

Divisão de números complexos

Para fazer a divisão de um número complexo \dpi{120} \boldsymbol{z_1} por um número complexo \dpi{120} \boldsymbol{z_2}, basta fazer:

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}}

Em que \dpi{120} \boldsymbol{\bar{z_2}} é o conjugado de \dpi{120} \boldsymbol{z_2}.

Exemplo: Se \dpi{120} \boldsymbol{z_1=3 +2i} e \dpi{120} \boldsymbol{z_2=-1 +5i}, qual o valor de \dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}} ?

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}}

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{(3+2i)}{(-1+5i)}\cdot \frac{(-1-5i)}{(-1-5i)}}

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{-3-15i-2i-10i^2}{1+5i-5i-5i^2}}

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{-3-15i-2i+10}{1+5i-5i+5}}

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{7-17i}{6}}

\dpi{120} \boldsymbol{\frac{7}{6}- \frac{17}{6}i}

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