Lista de exercícios de progressão geométrica

Confira uma lista de exercícios resolvidos sobre progressão geométrica.

Por Elainy Marciano Publicado em 06/10/2020 - 17:40

A progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que o quociente entre um termo e o seu antecessor é um valor constante, chamado de razão q da PG.

O termo geral da PG é determinado pela seguinte fórmula:

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$\dpi{120} \mathbf{a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}}$

Já para obter a soma dos termos de uma PG, usa-se a fórmula abaixo:

$\dpi{120} \mathbf{S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}}$

Para aprender mais sobre esse assunto, confira uma lista de exercícios de progressão geométrica, todas as questões com resolução completa.

Exercícios de progressão geométrica

Questão 1. Verifique se as sequências são progressões geométricas e, em caso afirmativo, determine a razão.

a) (4, 12, 36, 108, …)
b) (1, -1, 1, -1, 1, -1, …)
c) (3, 0, 3, 0, 3, …)
d) (-7, 14, -28, 56, -112, …)

Questão 2. Determine os três primeiros termos de uma PG cuja razão é 2 e o quarto termo é 64.

Questão 3. A progressão (0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, …) é geométrica? Se for, determine 11º, o 15º e o 19º termo da sequência.

Questão 4. Determine os quatro primeiros termos de uma PG cujo termo geral é:

$\dpi{120} \mathrm{a_n = \frac{1}{10^{n-1}}}$

Questão 5. Calcule a razão de uma PG com termo geral dado por:

$\dpi{120} \mathrm{a_n = 2^{3-2n}}$

Questão 6. Determine a soma dos 12 primeiros termos da PG (1, -3, 9, -27, …).

Questão 7. Determine a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cujo termo geral é dado por:

$\dpi{120} \mathrm{a_n = 2^{-(n-1)}}$

Resolução da questão 1

a) (4, 12, 36, 108, …)

Vamos calcular o quociente entre cada termo e seu antecessor para verificar se é constante:

12/4 = 3
36/12 = 3
108/36 = 3

Como o quociente é constante, é uma PG, e a sua razão é 3.

b) (1, -1, 1, -1, 1, -1, …)

-1/1 = -1
1/-1 = -1
-1/1 = -1

Como o quociente é constante, é uma PG, e a sua razão é -1.

c) (3, 0, 3, 0, 3, …)

Não é uma PG, pois não podemos dividir o terceiro termo pelo segundo, já que seria uma divisão por zero.

d) (-7, 14, -28, 56, -112, …)

14/-7 = -2
-28/14 = -2
56/-28 = -2

Como a diferença é constante, essa é uma PG, e a sua razão é -2.

Resolução da questão 2

Vamos utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o primeiro termo da PG:

$\dpi{120} \mathrm{a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}}$

$\dpi{120} \mathrm{a_1 = \frac{a_n}{q^{(n-1)}} }$

$\dpi{120} \mathrm{a_1 = \frac{64}{2^{(4-1)}} }$

$\dpi{120} \mathrm{a_1 = \frac{64}{8} }$

$\dpi{120} \mathrm{a_1 = 8 }$

Agora, podemos encontrar os outros termos, multiplicando pela razão 2:

$\dpi{120} \mathrm{a_2 = 8 \cdot 2 = 16}$

$\dpi{120} \mathrm{a_3 = 16 \cdot 2 = 32}$

Resolução da questão 3

A progressão (0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, …) é geométrica, pois o quociente entre dois termos consecutivos é constante, q = 2.

Para determinar o 11º, o 15º e o 19º termo da sequência, vamos utilizar a fórmula do termo geral:

$\dpi{120} \mathrm{a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}}$

11º termo:

$\dpi{120} \mathrm{a_{11} = 0.125 \cdot 2^{(11-1)}}$

$\dpi{120} \mathrm{a_{11} = 128}$

15º termo:

$\dpi{120} \mathrm{a_{15} = 0.125 \cdot 2^{(15-1)}}$

$\dpi{120} \mathrm{a_{15} = 2048}$

19º termo:

$\dpi{120} \mathrm{a_{19} = 0.125 \cdot 2^{(19-1)}}$

$\dpi{120} \mathrm{a_{19} = 32768}$

Resolução da questão 4

Basta atribuir valores para n na fórmula do termo geral para determinar os termos da PG.

$\dpi{120} \mathrm{a_n = \frac{1}{10^{n-1}}}$

n = 1 -> $\dpi{120} \mathrm{a_1 = \frac{1}{10^{1-1}} = \frac{1}{1} = 1}$

n = 2 -> $\dpi{120} \mathrm{a_2 = \frac{1}{10^{2-1}} = \frac{1}{10} = 0.1}$

n = 3 -> $\dpi{120} \mathrm{a_3 = \frac{1}{10^{3-1}} = \frac{1}{100} = 0.01}$

n = 4 -> $\dpi{120} \mathrm{a_2 = \frac{1}{10^{4-1}} = \frac{1}{1000} = 0.001}$

Resolução da questão 5

Precisamos apenas de dois termos consecutivos da PG para determinar sua razão.

$\dpi{120} \mathrm{a_n = 2^{3-2n}}$

n = 1 -> $\dpi{120} \mathrm{a_1 = 2^{3-2.1} = 2}$

n = 2 -> $\dpi{120} \mathrm{a_2 = 2^{3-2.2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}}$

A partir desses dois termos já podemos calcular a razão:

$\dpi{120} \mathrm{q = \frac{1}{2}: 2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25}$

Resolução da questão 6

Para determinar a soma de n termos da PG usamos a seguinte fórmula:

$\dpi{120} \mathrm{S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}}$

Vamos calcular $\dpi{120} \mathrm{S_{12}}$ da PG (1, -3, 9, -27, …), cuja razão é q = -3.

$\dpi{120} \mathrm{S_{12}=\frac{1\cdot ((-3)^{12}-1)}{-3-1}}$

$\dpi{120} \mathrm{S_{12}=-132860}$

Resolução da questão 7

Para utilizar a fórmula da soma de n termos da PG, precisamos do primeiro termo e da razão.

Vamos calcular a partir do termo geral:

$\dpi{120} \mathrm{a_n = 2^{-(n-1)}}$

n = 1 -> $\dpi{120} \mathrm{a_1 = 2^{-(1-1)} = 1}$

n = 2 -> $\dpi{120} \mathrm{a_2 = 2^{-(2-1)} = \frac{1}{2} = 0.5}$

Portanto, a razão é q = 0.5. Já podemos calcular $\dpi{120} \mathrm{S_{5}}$ :

$\dpi{120} \mathrm{S_5=\frac{1\cdot (0.5^5-1)}{0.5-1}}$

$\dpi{120} \mathrm{S_5=1.9375}$

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