Progressão geométrica

Progressão geométrica é uma sequência em que a divisão entre dois termos sempre tem como resultado um mesmo número.

Progressão geométrica (PG) é qualquer sequência de números cuja divisão entre dois números consecutivos resulta em um valor constante, ou seja, em um mesmo valor.

Esse valor constante é chamado de razão da PG.

Razão da PG

A razão (q) da PG é calculada a partir da divisão de um termo por seu antecessor.

Exemplo:

(5, 10, 20, 40, 80, 160…) → é uma PG de razão r = 2, pois observe que a divisão de um termo por seu antecessor é sempre igual a 2:

\dpi{120} \mathrm{\frac{a_2}{a_1} = \frac{10}{5} = 2}

\dpi{120} \mathrm{\frac{a_3}{a_2} = \frac{20}{10} = 2}

\dpi{120} \mathrm{\frac{a_4}{a_3} = \frac{40}{20} = 2}

E assim sucessivamente.

Para saber o próximo termo de uma PG, basta multiplicar o último termo pela razão q. No exemplo, o último termo dado foi 160, então, o próximo termo da sequência é 320, pois 160 × 2 = 320.

Classificação da PG

A PG é classificada de acordo com o valor da razão q.

PG constante

Uma PG é constante quando q = 1, e isso só acontece quando os termos são todos iguais.

Exemplo: (7, 7, 7, 7, 7, 7, 7) ⇒ q = 7/7 =1.

PG crescente

Uma PG é crescente quando q > 1, e isso só acontece quando os termos são crescentes, isto é, \dpi{120} \mathrm{a_1 < a_2 < a_3 < ...}

Exemplo: (3, 9, 27, 81, 243) ⇒ q = 9/3 = 3.

PG decrescente

Uma PG é decrescente quando 0 < q < 1, e isso só acontece quando os termos são decrescentes, isto é, \dpi{120} \mathrm{a_1 > a_2 > a_3 > ...}

Exemplo: (72, 24, 8, 8/3, 8/9, 8/27) ⇒ q = 24/72 = 1/3.

Observe que os termos de uma PG podem ser, inclusive, frações. Só não podem ser iguais a zero.

PG oscilante

Uma PG é oscilante quando q < 0, e isso só acontece quando os termos são alternados entre positivos e negativos.

Exemplo: (2, -8, 16, -32, 128) ⇒ q = -8/2 = -4.

Termo geral da PG

Chamando de \dpi{120} \mathbf{a_n} um termo qualquer da PG, o seu valor pode ser encontrado a partir da seguinte fórmula:

\dpi{120} \mathbf{a_n = a_1\cdot q^{(n-1)}}

Essa fórmula é conhecida como fórmula do termo geral da PG.

Em que:

\dpi{120} \mathbf{a_1}: é o primeiro termo da PG;
\dpi{120} \mathbf{n}: posição do termo que queremos calcular;
\dpi{120} \mathbf{q}: razão da PG.

Exemplo:

Qual o 14º termo da sequência (4, 12, 36, 108, 324, 972, … )?

A sequência é uma PG com q = 12/4 = 3. Sendo \dpi{120} \mathrm{a_1 = 4}, vamos calcular o valor do termo \dpi{120} \mathrm{a_{14}}:

\dpi{120} \mathrm{a_{14} = 4\cdot 3^{(14-1)}}

\dpi{120} \mathrm{a_{14} = 4\cdot 3^{13}}

\dpi{120} \mathrm{a_{14} = 6377292}

Soma dos termos de uma PG

Podemos calcular a soma dos termos de uma PG a partir da seguinte fórmula:

\dpi{120} \mathbf{S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}}

Em que:

\dpi{120} \mathbf{n}: número de termos que desejamos somar;
\dpi{120} \mathbf{a_1}: é o primeiro termo da PG;
\dpi{120} \mathbf{q}: razão da PG.

Exemplo:

Calcule a soma dos 14 primeiros termos da PG (4, 12, 36, 108, 324, 972, … ).

Vamos calcular \dpi{120} \mathrm{S_{14}} utilizando a fórmula da soma dos termos da PG, com n = 14, q = 3 e \dpi{120} \mathrm{a_1 = 4}.

\dpi{120} \mathrm{S_{14}=\frac{4\cdot (3^{14}-1)}{3-1}}

\dpi{120} \mathrm{S_{14}=\frac{4\cdot 4782968}{2}}

\dpi{120} \mathrm{S_{14}=9565936}

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