O que é logaritmo?

Logaritmo é o inverso de uma potência, mas é diferente de uma radiciação. Entenda mais!

Por Elainy Marciano Publicado em 29/10/2020 - 17:57

Logaritmo é definido como uma operação contrária à potenciação ou exponencial.

Na potenciação, conhecemos a base e o expoente e queremos calcular uma potência. Já no logaritmo, conhecemos a base e a potência e queremos saber o valor do expoente.

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Assim, perceba que logaritmo não é a radiciação, já que nessa última buscamos o valor da base dada a potência.

Exemplo: Qual deve ser o valor do expoente x para que

$\dpi{120} \mathrm{5^x = 25}?$

Sabemos que $\dpi{120} 5^2 = 25$ , então, o expoente x deve ser igual a 2.

Assim, podemos dizer que o logaritmo de 25 na base 5 é igual a 2:

$\dpi{120} \mathrm{log\, _5\, 25} = 2$

Veja a seguir, uma definição formal de logaritmo.

Definição de logaritmo:

Dados dois números positivos, a e b, com $\dpi{120} \mathrm{a\neq 1}$ , dizemos que o logaritmo de b na base a é igual número x se, e somente se, a elevado a x é igual a b, isto é:

$\dpi{150} \mathbf{\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b}$

Em que:

a: base
b: logaritmando
x: logaritmo

Exemplo: Calcule o valor de $\dpi{120} \mathrm{x}$ em cada caso.

a) $\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = x}$

Pela definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{9^x = 81}$

Como $\dpi{120} 9^2 = 81$ , então, $\dpi{120} \mathrm{x= 2}$ . Assim:

$\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = 2}$

b) $\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = x}$

Pela definição, temos que:

$\dpi{120} \mathrm{2^x = 8}$

Como $\dpi{120} 2^3 = 8$ , então, $\dpi{120} \mathrm{x= 3}$ . Assim:

$\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = 3}$

Propriedades do logaritmo

A partir da definição de logaritmos, temos os seguintes resultados imediatos:

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a1 = 0}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_aa = 1}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_aa^c = c}$

4) b = c ⇒ $\dpi{120} \mathrm{log_ab = log_ac}$

5) $\dpi{120} \mathrm{a^{log_ab} = b}$

E as propriedades do logaritmo são:

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a(b\cdot c) = log_ab + log_ac}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_a\bigg(\frac{b}{c} \bigg) = log_ab - log_ac}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_ab^c = c\cdot log_ab}$

4) $\dpi{120} \mathrm{log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}}$

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