Propriedades dos logaritmos

Conhecer as propriedades dos logaritmos pode ajudar na resolução de muitos problemas com logaritmos. Aprenda sobre elas nesse post!

Por Elainy Marciano Publicado em 09/09/2020 - 18:29

As propriedades dos logaritmos são usadas para simplificar expressões com logaritmos e podem facilitar muitos cálculos.

Lembre-se: um logaritmo é definido como:

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$\dpi{120} \mathrm{Log_{a}b = x\Leftrightarrow a^x = b}$

Em que:

a: base (a > 0 e a $\dpi{120} \neq$ 1);
b: logaritmando (b > 0);
x: logaritmo

Lê-se: logaritmo de b na base a é igual a x.

E a partir dessa definição, temos alguns resultados interessantes e, também, muito úteis:

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a1 = 0}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_aa = 1}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_aa^c = c}$

4) b = c ⇒ $\dpi{120} \mathrm{log_ab = log_ac}$

5) $\dpi{120} \mathrm{a^{log_ab} = b}$

Propriedades dos logaritmos

Além dos casos anteriores, que são consequência direta da definição, os logaritmos possuem propriedades importantes e conhecê-las vai ajudar a resolver e manipular com mais facilidade muitas expressões.

Propriedade 1) Logaritmo do produto

No logaritmo de uma multiplicação, soma-se os logaritmos de cada um dos fatores.

$\dpi{120} \mathbf{log_a(b\cdot c) = log_ab + log_ac}$

Exemplo: $\dpi{120} \mathrm{log(12) = log(3\cdot 4)= log(3)+log(4) \simeq 1,07}$

Propriedade 2) Logaritmo do quociente

No logaritmo de um quociente, o logaritmo do numerador é subtraído do logaritmo do denominador.

$\dpi{120} \mathbf{log_a\bigg(\frac{b}{c} \bigg) = log_ab - log_ac}$

Exemplo: $\dpi{120} \mathrm{log_2\bigg(\frac{1}{8}\bigg) = log_21 - log_28 = 0 - log_28 = -3}$

Propriedade 3) Logaritmo de potência

No logaritmo de um número elevado a um expoente, desce o expoente e multiplica-se o expoente pelo logaritmo.

$\dpi{120} \mathbf{log_ab^c = c\cdot log_ab}$

Exemplo: $\dpi{120} \mathrm{log_3243 = log_3(3^5) = 5\cdot log_33 = 5 . 1 = 5}$

Propriedade 4) Mudança de base

Para mudar a base em um logaritmo, escrevemos o quociente de dois logaritmos com a nova base, da seguinte forma:

$\dpi{120} \mathbf{log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}}$

Exemplo: $\dpi{120} \mathrm{log_{100}10 =\frac{log_{10} 10}{log_{10} 100} = \frac{1}{log_{10}(10^2)}= \frac{1}{2}}$

A partir da última propriedade, temos que:

$\dpi{120} \mathbf{log_ab = \frac{1}{log_ba}}$

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