Função logarítmica

Saiba o que é a função logarítmica, seu domínio e imagem, gráfico e entenda quando a função é crescente ou decrescente. Veja exemplos!

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A função logarítmica é qualquer função que possui a seguinte forma:

\dpi{120} \boldsymbol{f(x) = log_a\, x}

Em que \dpi{120} \boldsymbol{a>0} e \dpi{120} \boldsymbol{a\neq 1}, pois, em um logaritmo, a base (\dpi{120} \boldsymbol{a}) deve ser sempre um número maior que zero e diferente de 1.

O logaritmando também deve ser sempre um valor maior que zero, ou seja, \dpi{120} x>0.

Exemplos de função logarítmica:

\dpi{120} f(x) = log_2\, x

\dpi{120} f(x) = log_\frac{1}{2}\, x

\dpi{120} f(x) = log_{10}\, (x + 1)

\dpi{120} f(x) = log_e\, x

Nesse último exemplo, temos a função logaritmo natural, em que a base \dpi{120} e é aproximadamente igual a 2,71. Podemos escrever essa função, simplesmente, como \dpi{120} f(x) = ln\, x.

Domínio e imagem da função logarítmica

Em um logaritmo, além da base ser um valor maior que zero, o logaritmando também deve ser um valor maior que zero.

Assim, para saber o domínio da função logarítmica, devemos verificar quais os valores de \dpi{120} x que satisfazem essa condição.

Exemplo: Na função \dpi{120} f(x) = log_a\, x, o logaritmando é o próprio \dpi{120} x, então, devemos ter \dpi{120} x>0. Nesse caso, \dpi{120} D = \{x \in \mathbb{R}_+^*\}.

Agora, suponha que a função seja \dpi{120} f(x) = log_a\, (x - 3). O logaritmando é \dpi{120} x - 3, então, devemos ter \dpi{120} x - 3>0.

\dpi{120} x - 3>0\Rightarrow x > 3

Nesse caso, \dpi{120} D = \{x \in \mathbb{R} | \, x >3\}

Como você pode ver, devemos ter um certo cuidado na hora de avaliar o domínio de funções que envolvem o logaritmo.

Já para a imagem da função logarítmica não há restrições, a imagem é sempre o conjunto dos números reais.

\dpi{120} Im=\mathbb{R}

Gráfico da função logarítmica

O gráfico da função logarítmica \dpi{120} f(x) = log_a\, x é uma curva que sempre passa pelo ponto (1,0).

Isso acontece pois \dpi{120} a^0 = 1 para qualquer que seja o valor de \dpi{120} a, então, temos \dpi{120} f(1) = log_a\, 1 = 0 sempre.

Além disso, a função está sempre no lado direito do sistema de coordenadas, onde os valores de x são positivos. Lembre-se do domínio da função logarítmica \dpi{120} f(x) = log_a\, x.

A curva é crescente ou decrescente de acordo com o valor da base \dpi{120} a.

  • Função logarítmica crescente: \dpi{120} a>1
  • Função logarítmica decrescente: \dpi{120} 0<a<1

Exemplo: gráficos das funções \dpi{120} f(x) = log_2\, x e \dpi{120} f(x) = log_\frac{1}{2}\, x.

Função logarítmica crescente e decrescente

Função logarítmica e função exponencial

A função logarítmica é a função inversa da função exponencial.

Função exponencial: \dpi{120} f(x) = a^x, para \dpi{120} a>0 e \dpi{120} a\neq 1.

Dessa forma, o gráfico da função logarítmica é simétrico ao gráfico da função exponencial, considerando a mesma base.

Exemplo: gráfico da função exponencial \dpi{120} f(x) = 3^x e \dpi{120} g(x)= log_3 x.

Função logarítmica e função exponencial

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