Relações de Girard

Conheças as relações de Girard para polinômios de qualquer grau. Elas relacionam os coeficientes e as raízes da equação.

Por Elainy Marciano Publicado em 13/11/2020 - 16:28

Relações de Girard são fórmulas que relacionam as raízes e os coeficientes de equações polinomiais. Essas relações foram estabelecidas pelo matemático francês Albert Girard, que viveu entre 1595 e 1632.

Relações de Girard – Equação de 2º grau

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Em uma equação de segundo grau, $\dpi{120} \boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0}$ , com raízes $\dpi{120} \boldsymbol{r_1}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{r_2}$ , as relações de Girard são:

$\dpi{120} \boldsymbol{r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2 = \frac{c}{a}}$

Essas duas relações também são conhecidas com soma e produto, sendo utilizadas como alternativa ao uso da fórmula de Bhaskara na determinação das raízes.

Exemplo:

Escreva as relações de Girard da equação $\dpi{120} x^2 - 3x - 4 = 0$ .

Temos $\dpi{120} a = 1$ , $\dpi{120} b = -3$ e $\dpi{120} c = -4$ . Então:

$\dpi{120} {r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = - \frac{-3}{1} = 3}$

$\dpi{120} {r_1\cdot r_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4}$

Relações de Girard – Equação de 3º grau

Em uma equação de terceiro grau, $\dpi{120} \boldsymbol{ax^3 + bx^2 + cx + d= 0}$ , com raízes $\dpi{120} \boldsymbol{r_1}$ , $\dpi{120} \boldsymbol{r_2}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{r_3}$ , as relações de Girard são:

$\dpi{120} \boldsymbol{r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2 +r_1\cdot r_3 + r_2\cdot r_3= \frac{c}{a}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2 \cdot r_3= -\frac{d}{a}}$

Essas relações podem ser utilizadas para determinar as raízes do polinômio de 3º grau a partir dos valores dos coeficientes.

Exemplo:

Escreva as relações de Girard da equação $\dpi{120} x^3 - 2x^2 + 5x + 1 = 0$ .

Temos $\dpi{120} a = 1$ , $\dpi{120} b = -2$ , $\dpi{120} c = 5$ e $\dpi{120} d = 1$ Então:

$\dpi{120} {r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a} = - \frac{-2}{1} = 2}$

$\dpi{120} {r_1\cdot r_2 +r_1\cdot r_3 + r_2\cdot r_3= \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5}$

$\dpi{120} {r_1\cdot r_2 \cdot r_3= -\frac{d}{a} = - \frac{1}{1} = -1}$

Relações de Girard – Equação de grau n

Em uma equação de grau n, $\dpi{120} \boldsymbol{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ...+a_2x^2+a_1x +a_0= 0}$ , com raízes $\dpi{120} \boldsymbol{r_1}$ , $\dpi{120} \boldsymbol{r_2}$ , $\dpi{120} \boldsymbol{r_3}$ ,…, $\dpi{120} \boldsymbol{r_{n-1}}$ , $\dpi{120} \boldsymbol{r_{n}}$ , as relações de Girard são: