Fatoração de polinômios

A fatoração de polinômios possibilita simplificar muitos cálculos algébricos. Conheça os métodos de fatoração e veja exemplos!

A fatoração de polinômios possibilita simplificar muitos cálculos algébricos e tem o mesmo princípio básico da fatoração de números.

Por isso, recorde-se que fatorar um número é escrevê-lo como um produto entre dois ou mais números.

Exemplos de fatoração de números:

45 = 3 . 3 . 5 = 3² . 5
8 = 2 . 2 . 2 = 2³
100 = 2 . 2 . 5 . 5 = 2² . 5²

De modo similar, fatorar um polinômio significa escrever o polinômio como um produto entre dois ou mais polinômios. Para isso, há alguns métodos de fatoração de polinômios que veremos a seguir.

Fatoração por fator comum em evidência

Os polinômios são formados pela adição algébrica de monômios.

Quando um número, uma variável ou até a multiplicação entre um número e uma variável aparece em mais de um monômio do polinômio, recebe o nome de termo comum.

Esse termo comum pode ser colocado em evidência. Veja como fazer isso em alguns exemplos.

Exemplo 1: Fatorar o polinômio \dpi{120} \mathrm{4x^2 - 4}.

O termo comum é o número 4, então, a forma fatorada é:

\dpi{120} \mathrm{4x^2 - 4 = 4\cdot (x^2 - 1)}

Exemplo 2: Fatorar o polinômio \dpi{120} \mathrm{12xy - x^2y}

O termo comum é \dpi{120} \mathrm{xy}, então, a forma fatorada é:

\dpi{120} \mathrm{12xy - x^2y = xy\cdot (12 -x)}

Exemplo 3: Fatorar o polinômio \dpi{120} \mathrm{9a^2b - 3a^2b^2 + 6a^3b^2}.

Observe que \dpi{120} \mathrm{9a^2b - 3a^2b^2 + 6a^3b^2 = 3.3.a^2.b - 3a^2b^2 + 2.3.a^3b^2}. Então, o termo comum é \dpi{120} \mathrm{3a^2b}.

Assim, a forma fatorada do polinômio é:

\dpi{120} \mathrm{9a^2b - 3a^2b^2 + 6a^3b^2= 3a^2b\cdot (3 - b + 2ab)}

Fatoração por agrupamento

Em alguns polinômios, podemos formar grupos e colocar um termo em evidência em cada um desses grupos. Em seguida, podemos colocar um polinômio em evidência.

Exemplo: Fatorar o polinômio \dpi{120} \mathrm{ax^2 - ay + 3x^2 - 3y}.

Podemos formar dois grupos:

\dpi{120} \mathrm{ (ax^2 + 3x^2) + (- ay - 3y)}

Colocamos o termo em evidência em cada grupo:

\dpi{120} \mathrm{x^2(a + 3) -y (a + 3)}

Agora, colocamos o polinômio (a + 3) em evidência:

\dpi{120} \mathrm{(a+3)\cdot (x^2 -y)}

Portanto, a forma fatorada do polinômio é:

\dpi{120} \mathrm{ax^2 - ay + 3x^2 - 3y = (a+3)\cdot (x^2-y)}

Os próximos métodos de fatoração de polinômios são baseados no uso de produtos notáveis.

Fatoração da diferença de dois quadrados

Quando o polinômio for uma diferença de dois quadrados, ele pode ser fatorado como o produto da soma das bases pela diferença das bases.

\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) = (a +b)\cdot (a-b)}

As bases são obtidas extraindo a raiz quadrada dos termos quadrados: \dpi{120} \mathrm{\sqrt{a^2}=a} e \dpi{120} \mathrm{\sqrt{b^2}=b}.

Exemplo: Fatorar o polinômio \dpi{120} \mathrm{9x^2 - 16}.

Trata-se de uma diferença entre dois quadrados, cujas bases são: \dpi{120} \mathrm{\sqrt{9x^2} = 3x} e \dpi{120} \sqrt{16} = 4.

Então, vamos escrever a expressão como o produto da soma das bases pela diferença das bases:

\dpi{120} \mathrm{9x^2 - 16 = (3x +4)\cdot (3x - 4)}

Fatoração do trinômio do quadrado perfeito

Quando o polinômio for um trinômio do quadrado perfeito, ele pode ser fatorado como o quadrado da soma ou quadrado da diferença entre dois termos:

\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 = (a + b)\cdot (a+b) = (a+b)^2}

\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 = (a - b)\cdot (a-b) = (a-b)^2}

Exemplo: Fatorar o polinômio \dpi{120} \mathrm{x^2 +14y + 49}.

Primeiro, devemos verificar se o trinômio é quadrado perfeito.

Como \dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} = x} , \dpi{120} \sqrt{49}=7 e \dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 7 = 14y}, então, é quadrado perfeito.

Assim, podemos fatorar esse trinômio como o quadrado da soma de dois termos:

\dpi{120} \mathrm{x^2 + 14y + 49 = (x + 7)\cdot (x + 7) = (x + 7)^2}

Fatoração do cubo perfeito

Quando o polinômio for um cubo perfeito, fatoramos escrevendo-o como o cubo da soma ou cubo da diferença.

\dpi{120} \mathrm{a^3 + 3a^2b + 3b^2a + b^3 = (a + b)^3 }

\dpi{120} \mathrm{a^3 - 3a^2b + 3b^2a + b^3 = (a - b)^3 }

Exemplo: Fatorar o polinômio \dpi{120} \mathrm{8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 }.

Primeiro, devemos verificar se o polinômio é um cubo perfeito.

Temos que:

\dpi{120} \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{8x}^3} = 2x}

\dpi{120} \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{y}^3} = y}

\dpi{120} \mathrm{3\cdot (2x)^2\cdot y = 12x^2y}

\dpi{120} \mathrm{3\cdot y^2\cdot 2x = 6xy^2}

Então, é um cubo perfeito e pode ser escrito como o cubo da soma de dois termos:

\dpi{120} \mathrm{8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x + y)^3}

Fatoração da soma ou diferença de dois cubos

Quando o polinômio for uma soma ou diferença de dois cubos, podemos fatorar da seguinte forma:

\dpi{120} \mathrm{a^3 + b^3 = (a+b)\cdot (a^2 - ab+b^2)}

\dpi{120} \mathrm{a^3 - b^3 = (a-b)\cdot (a^2 - ab+b^2)}

Exemplo: Fatorar a expressão \dpi{120} \mathrm{x^3 - 27}.

Trata-se de uma diferença de dois cubos, em que as bases são: \dpi{120} \mathrm{\sqrt[3]{\mathrm{x}^3} = x} e \dpi{120} \sqrt[3]{27} = 3.

Assim, podemos fatorar o polinômio do seguinte modo:

\dpi{120} \mathrm{x^3 - 27 = (x - 3)\cdot (x^2-3x+9)}

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