Soma e produto

A soma e produto é uma alternativa a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau. Aprenda a usar esse método que é bem prático!

O método da soma e produto é uma forma alternativa e, na maioria das vezes, mais prática para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau:

\dpi{120} \mathbf{a\mathbf{x}^2 +b\mathbf{x}+c=0}

É um método indicado quando as raízes são número inteiros. Caso contrário, deve-se utilizar a fórmula de Bhaskara.

Como encontrar as raízes pela soma e produto?

Considerando \dpi{120} \mathbf{x_1} e \dpi{120} \mathbf{x_2} as raízes de uma equação do 2º grau e representando a soma das raízes por S e o produto por P, temos que:

\dpi{120} S=\frac{-b}{a}

\dpi{120} P=\frac{c}{a}

Assim, para encontrar as raízes:

  • Calculamos os valores de S e P;
  • Procuramos números cujo produto seja igual ao valor P;
  • Verificamos se em algum desses casos encontrados a soma dos números é igual ao valor S.
Se existiram dois números onde o produto é igual a P e a soma é igual a S, então esses números são as raízes da equação.

Exemplos


Exemplo 1:

Encontrar as raízes da equação

\dpi{120} \mathbf{x^2}+\mathbf{x}\, \mathbf{- \, 6=0}

Temos \dpi{120} a=1, b=1 \, \mathrm{e}\, c=-6.

Cálculo da soma e do produto:

\dpi{120} S=\frac{-b}{a}=\frac{-1}{1}=-1\dpi{120} P=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6

Números cujo produto é igual a -6:

  • 1 e -6 → pois 1 . (-6) = -6
  • 6 e -1 → pois 6 . (-1) = -6
  • 3 e -2 → pois 3 . (-2) = -6
  • 2 e -3 → pois 2 . (-3) = -6

Em algum deles a soma é igual a -1?

  • 1 e -6 → Não, pois 1 + (-6) = -5
  • 6 e -1 → Não, pois 6 + (-1) = 5
  • 3 e -2 → Não, pois 3 + (-2) = 1
  • 2 e -3 → Sim, pois 2 + (-3) = -1

Então, as raízes da equação são 2 e -3, já que o produto entre esses números é -6 e a soma é -1.


Exemplo 2:

Encontrar as raízes da equação

\dpi{120} \mathbf{x^2}-\mathbf{3x}\, -\mathbf{10 =0}

Temos \dpi{120} a=1, b=-3 \, \mathrm{e}\, c=-10.

Cálculo da soma e do produto:

\dpi{120} S=\frac{-b}{a}=\frac{-(-3)}{1}=3\dpi{120} P=\frac{c}{a}=\frac{-10}{1}=-10

Números cujo produto é igual a -10:

  • 1 e -10 → pois 1 . (-10) = -10
  • 10 e -1 → pois 10 . (-1) = -10
  • 5 e -2 → pois 5 . (-2) = -10
  • 2 e -5 → pois 2 . (-5) = -10

Em alguns deles a soma é igual a 3?

  • 1 e -10 → Não, pois 1 + (-10) = -9
  • 10 e -1 → Não, pois 10 + (-1) = 9
  • 5 e -2 → Sim, pois 5 + (-2) = 3
  • 2 e -5 → Não, pois 2 + (-5) = -3

Então, as raízes da equação são 5 e -2, já que o produto entre esses números é -10 e a soma é 3.


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