Relações de Girard

Conheças as relações de Girard para polinômios de qualquer grau. Elas relacionam os coeficientes e as raízes da equação.

Relações de Girard são fórmulas que relacionam as raízes e os coeficientes de equações polinomiais. Essas relações foram estabelecidas pelo matemático francês Albert Girard, que viveu entre 1595 e 1632.

Relações de Girard – Equação de 2º grau

Em uma equação de segundo grau\dpi{120} \boldsymbol{ax^2 + bx + c = 0}, com raízes \dpi{120} \boldsymbol{r_1} e \dpi{120} \boldsymbol{r_2}, as relações de Girard são:

\dpi{120} \boldsymbol{r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}}

\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2 = \frac{c}{a}}

Essas duas relações também são conhecidas com soma e produto, sendo utilizadas como alternativa ao uso da fórmula de Bhaskara na determinação das raízes.

Exemplo:

Escreva as relações de Girard da equação \dpi{120} x^2 - 3x - 4 = 0.

Temos \dpi{120} a = 1\dpi{120} b = -3 e \dpi{120} c = -4. Então:

\dpi{120} {r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = - \frac{-3}{1} = 3}

\dpi{120} {r_1\cdot r_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4}

Relações de Girard – Equação de 3º grau

Em uma equação de terceiro grau, \dpi{120} \boldsymbol{ax^3 + bx^2 + cx + d= 0}, com raízes \dpi{120} \boldsymbol{r_1} , \dpi{120} \boldsymbol{r_2} e \dpi{120} \boldsymbol{r_3}, as relações de Girard são:

\dpi{120} \boldsymbol{r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}}

\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2 +r_1\cdot r_3 + r_2\cdot r_3= \frac{c}{a}}

\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2 \cdot r_3= -\frac{d}{a}}

Essas relações podem ser utilizadas para determinar as raízes do polinômio de 3º grau a partir dos valores dos coeficientes.

Exemplo:

Escreva as relações de Girard da equação \dpi{120} x^3 - 2x^2 + 5x + 1 = 0.

Temos \dpi{120} a = 1, \dpi{120} b = -2, \dpi{120} c = 5 e \dpi{120} d = 1 Então:

\dpi{120} {r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a} = - \frac{-2}{1} = 2}

\dpi{120} {r_1\cdot r_2 +r_1\cdot r_3 + r_2\cdot r_3= \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5}

\dpi{120} {r_1\cdot r_2 \cdot r_3= -\frac{d}{a} = - \frac{1}{1} = -1}

Relações de Girard – Equação de grau n

Em uma equação de grau n, \dpi{120} \boldsymbol{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ...+a_2x^2+a_1x +a_0= 0}, com raízes \dpi{120} \boldsymbol{r_1} , \dpi{120} \boldsymbol{r_2} , \dpi{120} \boldsymbol{r_3},…, \dpi{120} \boldsymbol{r_{n-1}}\dpi{120} \boldsymbol{r_{n}}, as relações de Girard são:

\dpi{120} \boldsymbol{r_1 + r_2 +... +r_{n-1}+r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}}

\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2 +r_1\cdot r_3 + r_2\cdot r_3 +...+ r_{n-1}\cdot r_n= \frac{a_{n-2}}{a_n}}

\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2\cdot r_3 +r_1\cdot r_2\cdot r_4 +...+ r_{n-2}\cdot r_{n-1}\cdot r_n= -\frac{a_{n-3}}{a_n}}

\dpi{200} \vdots

\dpi{120} \boldsymbol{r_1\cdot r_2 \cdot r_3 \cdot ...\cdot r_{n-1}\cdot r_n= (-1)^n\cdot \frac{a_0}{a_n}}

Você também pode se interessar:

você pode gostar também

Os comentários estão fechados, mas trackbacks E pingbacks estão abertos.

This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish. Accept Read More