Relações derivadas

Relações derivadas contribuem na simplificação e resolução de muitos problemas trigonométricos. Conheça essas relações!

Por Elainy Marciano Publicado em 10/11/2020 - 09:21

Em trigonometria, as relações derivadas são relações que derivam das identidades trigonométricas fundamentais.

As identidades trigonométricas fundamentais são igualdades que envolvem as funções trigonométricas de um mesmo arco e são estabelecidas a partir das relações entre os lados e ângulos do triângulo retângulo.

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1ª Identidade fundamental (ou identidade pitagórica)

$\dpi{120} \boldsymbol{sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1}$

Função tangente: razão entre o seno e o cosseno.

$\dpi{120} \boldsymbol{tan(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}}$

Função secante: inverso da função cosseno.

$\dpi{120} \boldsymbol{sec(\alpha)= \frac{1}{cos(\alpha)}}$

Função cossecante: inverso da função seno.

$\dpi{120} \boldsymbol{csc(\alpha)= \frac{1}{sen(\alpha)}}$

Função cotangente: inverso da função tangente.

$\dpi{120} \boldsymbol{cot(\alpha)= \frac{1}{tan(\alpha)} = \frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}}$

Relações derivadas

Partindo das identidades fundamentais, outras relações entre funções trigonométricas podem ser obtidas. Elas são chamadas de relações derivadas ou, ainda, de relações recorrentes.

Considere a primeira identidade fundamental:

$\dpi{120} sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1$

Vamos obter duas outras relações dividindo toda a identidade por $\dpi{120} cos^2(\alpha)$ e dividindo toda a identidade por $\dpi{120} sen^2(\alpha)$ .

1º Exemplo) Dividir por $\dpi{120} cos^2(\alpha)$ :

$\dpi{120} \frac{sen^2\, (\alpha)}{cos^2 \, (\alpha)} + \frac{cos^2\, (\alpha)}{cos^2 \, (\alpha)} = \frac{1}{cos^2 \, (\alpha)}$

$\dpi{120} \Rightarrow \left ( \frac{sen\, (\alpha)}{cos\, (\alpha)}\right )^2 + 1 = \left ( \frac{1}{cos \, (\alpha)}\right )^2$

Como $\dpi{120} {tan(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}}$ e $\dpi{120} {sec(\alpha)= \frac{1}{cos(\alpha)}}$ , ao fazer as substituições, obtemos a seguinte relação:

$\dpi{120} tan^2(\alpha) + 1 = sec^2 (\alpha)$

Que é equivalente a:

$\dpi{120} {sec^2(\alpha)= tan^2(\alpha)+1 }$

E essa é uma relação derivada.

1ª Relação derivada

$\dpi{120} \boldsymbol{sec^2(\alpha)= tan^2(\alpha)+1 }$

2º Exemplo) Dividir por $\dpi{120} sen^2(\alpha)$ :

$\dpi{120} \frac{sen^2\, (\alpha)}{sen^2 \, (\alpha)} + \frac{cos^2\, (\alpha)}{sen^2 \, (\alpha)} = \frac{1}{sen^2 \, (\alpha)}$

$\dpi{120} \Rightarrow 1+ \left ( \frac{cos\, (\alpha)}{sen\, (\alpha)}\right )^2 = \left ( \frac{1}{sen \, (\alpha)}\right )^2$

Como $\dpi{120} {cot(\alpha)= \frac{1}{tan(\alpha)} = \frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}}$ e $\dpi{120} {csc(\alpha)= \frac{1}{sen(\alpha)}}$ , ao fazer as substituições, obtemos a seguinte relação: