Relações derivadas

Relações derivadas contribuem na simplificação e resolução de muitos problemas trigonométricos. Conheça essas relações!

Em trigonometria, as relações derivadas são relações que derivam das identidades trigonométricas fundamentais.

As identidades trigonométricas fundamentais são igualdades que envolvem as funções trigonométricas  de um mesmo arco e são estabelecidas a partir das relações entre os lados e ângulos do triângulo retângulo.

Círculo trigonométrico

1ª Identidade fundamental (ou identidade pitagórica)

\dpi{120} \boldsymbol{sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1}

Função tangente: razão entre o seno e o cosseno.

\dpi{120} \boldsymbol{tan(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}}

Função secante: inverso da função cosseno.

\dpi{120} \boldsymbol{sec(\alpha)= \frac{1}{cos(\alpha)}}

Função cossecante: inverso da função seno.

\dpi{120} \boldsymbol{csc(\alpha)= \frac{1}{sen(\alpha)}}

Função cotangente: inverso da função tangente.

\dpi{120} \boldsymbol{cot(\alpha)= \frac{1}{tan(\alpha)} = \frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}}

Relações derivadas

Partindo das identidades fundamentais, outras relações entre funções trigonométricas podem ser obtidas. Elas são chamadas de relações derivadas ou, ainda, de relações recorrentes.

Considere a primeira identidade fundamental:

\dpi{120} sen^2\, (\alpha) +cos^2\, (\alpha) = 1

Vamos obter duas outras relações dividindo toda a identidade por \dpi{120} cos^2(\alpha) e dividindo toda a identidade por \dpi{120} sen^2(\alpha).

1º Exemplo) Dividir por \dpi{120} cos^2(\alpha):

\dpi{120} \frac{sen^2\, (\alpha)}{cos^2 \, (\alpha)} + \frac{cos^2\, (\alpha)}{cos^2 \, (\alpha)} = \frac{1}{cos^2 \, (\alpha)}

\dpi{120} \Rightarrow \left ( \frac{sen\, (\alpha)}{cos\, (\alpha)}\right )^2 + 1 = \left ( \frac{1}{cos \, (\alpha)}\right )^2

Como \dpi{120} {tan(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}} e \dpi{120} {sec(\alpha)= \frac{1}{cos(\alpha)}}, ao fazer as substituições, obtemos a seguinte relação:

\dpi{120} tan^2(\alpha) + 1 = sec^2 (\alpha)

Que é equivalente a:

\dpi{120} {sec^2(\alpha)= tan^2(\alpha)+1 }

E essa é uma relação derivada.

1ª Relação derivada

\dpi{120} \boldsymbol{sec^2(\alpha)= tan^2(\alpha)+1 }

2º Exemplo) Dividir por \dpi{120} sen^2(\alpha):

\dpi{120} \frac{sen^2\, (\alpha)}{sen^2 \, (\alpha)} + \frac{cos^2\, (\alpha)}{sen^2 \, (\alpha)} = \frac{1}{sen^2 \, (\alpha)}

\dpi{120} \Rightarrow 1+ \left ( \frac{cos\, (\alpha)}{sen\, (\alpha)}\right )^2 = \left ( \frac{1}{sen \, (\alpha)}\right )^2

Como \dpi{120} {cot(\alpha)= \frac{1}{tan(\alpha)} = \frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}} e \dpi{120} {csc(\alpha)= \frac{1}{sen(\alpha)}}, ao fazer as substituições, obtemos a seguinte relação:

\dpi{120} 1+ cot^2(\alpha) = csc^2 (\alpha)

Que é equivalente a:

\dpi{120} {csc^2(\alpha) = 1 + cot^2(\alpha)}

Essa é a segunda relação derivada.

2ª Relação derivada

\dpi{120} \boldsymbol{csc^2(\alpha) = 1 + cot^2(\alpha)}

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