Círculo trigonométrico

Círculo trigonométrico é essencial em trigonometria. Saiba o que é, como utilizar, quais os quadrantes, sinais, ângulos, radianos e razões trigonométricas.

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O círculo trigonométrico é um círculo utilizado para representação de ângulos e radianos, sendo essencial em estudos de trigonometria.

O raio do círculo trigonométrico é igual a 1 e, normalmente, o centro é o ponto (0,0) do plano cartesiano.

Círculo trigonométrico

Cada ponto P da circunferência do círculo trigonométrico está associado a um ângulo \dpi{120} \alpha^{\circ}. A primeira coordenada do ponto corresponde ao cosseno de \dpi{120} \alpha^{\circ} e a segunda coordenada, ao seno de \dpi{120} \alpha^{\circ}.

P(x, y) = P(cos (\dpi{120} \alpha), sen (\dpi{120} \alpha))

Dessa forma, o eixo x é chamado de eixo dos cossenos e o eixo y de eixo dos senos.

Ângulos notáveis no círculo trigonométrico

Os ângulos mais utilizados são chamados de ângulos notáveis, os principais são 30°, 45° e 60°.

Vamos tomar como exemplo o ângulo de 30°. No círculo trigonométrico, esse ângulo está associado ao ponto P(cos (30°), sen (30°)).

Então, só resta saber qual o valor das funções trigonométricas para esses ângulos. As principais funções são seno, cosseno e tangente:

Tabela de ângulos notáveis
Tabela de ângulos notáveis.

Mas, além desses, podem ser considerados notáveis, os ângulos de 0° e 90°.

Se considerarmos um ângulo de 0°, teremos o ponto P(cos (0°), sen (0°)) = P (0,1) e se considerarmos um ângulo de 90°, o ponto P(cos (90°), sen (90°)) = P (1,0).

De onde temos que:

  • seno de 0° = cosseno de 90° = 1
  • seno de 90° = cosseno de 0° = 0

E quanto aos demais ângulos, os seus valores podem ser consultados em uma tabela trigonométrica.

Ângulos e radianos no círculo trigonométrico

A medida de um ângulo pode ser apresentada em graus ou em radianos no círculo trigonométrico.

Círculo ou ciclo trigonométrico com ângulos e radianos

Uma volta completa no círculo corresponde a 360° ou \dpi{120} 2\pi em radianos. O valor de \dpi{120} \pi, nesse caso, é igual a 180°.

Então, por exemplo, 30° é o mesmo que \dpi{120} \frac{\pi}{6}, pois \dpi{120} \frac{\pi}{6} = \frac{180^{\circ}}{6} = 30^{\circ}.

Quadrantes do círculo trigonométrico

Um círculo trigonométrico pode ser repartido em quatro partes iguais, que são chamadas de quadrantes.

  • 1º quadrante: de 0° a 90° (0 a \dpi{120} \pi/2)
  • 2º quadrante: de 90° a 180° (\dpi{120} \pi/2 \: \mathrm{a}\: \pi)
  • 3º quadrante: de 180° a 270° (\dpi{120} \pi \: \mathrm{a}\: 3\pi/2)
  • 4º quadrante: de 270° a 360° (\dpi{120} 3\pi/2 \: \mathrm{a}\: \2\pi)

Quadrantes no círculo trigonométrico

Para saber o quadrante de um ângulo maior que 360°, é necessário saber qual o seu corresponde de 0° a 360°.

Exemplo: ângulo de 415°.

Dividindo 415° por 360°, o quociente é 1 e o resto é 55°. Isso significa que 415° corresponde a uma volta inteira do círculo e mais 55°.

Como 55° está no 1° quadrante, então, a extremidade do ângulo 415° pertence ao 1° quadrante.

Sinal das funções no círculo trigonométrico

Os valores das funções trigonométricas podem ser negativos ou positivos. O sinal das funções pode ser representado no círculo trigonométrico conforme os quadrantes.

Função seno:

sinal da função seno

Sinal da função:

  • Positiva (+) de 0 a \dpi{120} \pi
  • Negativa () de \dpi{120} \pi a 2\dpi{120} \pi

Comportamento da função:

  • Crescente () de 0 a \dpi{120} \frac{\pi}{2}
  • Decrescente de () de \dpi{120} \frac{\pi}{2} a \dpi{120} \frac{3 \pi}{2}
  • Crescente () de \dpi{120} \frac{3 \pi}{2} a 2\dpi{120} \pi

Função cosseno: 

sinal função cosseno

Sinal da função:

  • Positiva (+) de 0 a \dpi{120} \frac{\pi}{2}
  • Negativa () de \dpi{120} \frac{\pi}{2} a \dpi{120} \frac{3\pi}{2}
  • Positiva (+) de \dpi{120} \frac{3\pi}{2} a 2\dpi{120} \pi

Comportamento da função:

  • Decrescente de () de 0 a \dpi{120} \pi
  • Crescente () de \dpi{120} \pi a 2\dpi{120} \pi

Função tangente: 

sinal da função tangente

Sinal da função:

  • Positiva (+) de 0 a \dpi{120} \frac{\pi}{2}
  • Negativa () de \dpi{120} \frac{\pi}{2} a \dpi{120} \pi
  • Positiva (+) de \dpi{120} \pi a \dpi{120} \frac{3\pi}{2}
  • Negativa () de \dpi{120} \frac{3\pi}{2} a 2\dpi{120} \pi

Comportamento da função:

  • Crescente () de 0 a 2\dpi{120} \pi

Razões trigonométricas

As razões trigonométricas são utilizadas para determinar medidas de ângulos e lados desconhecidos em triângulos retângulos.

As principais razões trigonométricas são:

\dpi{120} \boldsymbol{seno = \frac{cateto \: oposto}{hipotenusa}}

\dpi{120} \boldsymbol{cosseno = \frac{cateto \: adjacente}{hipotenusa}}

\dpi{120} \boldsymbol{tangente = \frac{cateto \: oposto}{cateto \: adjacente}}

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