Funções trigonométricas – Seno, cosseno e tangente

Entenda o que é o círculo trigonométrico e conheça as principais funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente.

As funções trigonométricas são funções que possuem um padrão de repetição, ou seja, o comportamento da função se repete após um período. Por isso, tais funções são funções periódicas.

As principais funções periódicas são:

  • Função seno
  • Função cosseno
  • Função tangente

O período dessas três funções se limita a uma volta completa no círculo trigonométrico.

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, centrada no ponto (0,0) do plano cartesiano. Essa circunferência é usada para a representação de ângulos e radianos.

No círculo trigonométrico, o eixo x é chamado de eixo dos cossenos e o eixo y de eixo dos senos.

Qualquer ângulo \dpi{120} \mathbf{\alpha} está associado a um ponto P(x, y) da circunferência, sendo que:

  • A abscissa do ponto P é o cosseno (\dpi{120} \alpha);
  • A ordenada do ponto P é o seno (\dpi{120} \alpha).

círculo trigonométricoDesse modo, para cada ângulo \dpi{120} \alpha , vamos ter um ponto P marcado na circunferência.

Considere, por exemplo, um ângulo \dpi{120} \alpha de 30º. Temos que:

\dpi{120} cos (30^{\circ}) = cos \Big( \frac{\pi}{6} \Big) = \frac{\sqrt{3}}{2} e \dpi{120} seno (30^{\circ}) = seno \Big( \frac{\pi}{6} \Big) = \frac{1}{2}.

Então, associado ao ângulo de 30º, teremos no círculo trigonométrico, o ponto

P( cos(\dpi{120} \alpha), sen (\dpi{120} \alpha) ) = \dpi{120} \Big(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \Big).

Veja a seguir, como fica o círculo trigonométrico considerando os ângulos notáveis e seus respectivos pontos.
Círculo o ciclo trigonométrico com ângulos e radianos

Função seno

Definição: A função seno é definida como a função \dpi{120} \textnormal{f}: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} , que associa a cada número real \dpi{120} \textnormal{x}, o seu seno.

\dpi{120} \textnormal{f(x) = sen(x)}

Domínio: O domínio da função seno é o conjunto dos números reais.

\dpi{120} \textnormal{D}=\mathbb{R}

Imagem: A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1], ou seja, \dpi{120} -1 \leq \textnormal{sen(x)}\leq 1 .

\dpi{120} \textnormal{Im}=[-1,1]

Paridade: A função \dpi{120} \textnormal{f(x) = sen(x)} é uma função ímpar, pois \dpi{120} \textnormal{ sen(-x)= - sen(x)}

Período: O período da função seno é \dpi{120} 2 \pi, ou seja, é uma volta completa no círculo trigonométrico.

Gráfico da função seno

Considerando apenas os valores de x entre 0 e \dpi{120} 2 \pi, que é o período da função, o gráfico da função \dpi{120} \textnormal{f(x) = sen(x)} é:

Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2.ed. 2013.

Essa curva é chamada de senóide e corresponde a uma volta completa no círculo trigonométrico.

Observe que os radianos são marcados no eixo x e os pontos da circunferência no eixo y. Através desse gráfico, podemos visualizar o sinal e o comportamento da função seno.

Sinal da função seno:

  • Positiva (+) de 0 a \dpi{120} \pi.
  • Negativa () de \dpi{120} \pi a 2\dpi{120} \pi;

Comportamento da função seno:

  • Crescente () de 0 a \dpi{120} \frac{\pi}{2};
  • Decrescente de () de \dpi{120} \frac{\pi}{2} a \dpi{120} \frac{3 \pi}{2};
  • Crescente () de \dpi{120} \frac{3 \pi}{2} a 2\dpi{120} \pi.

Projetando essas informações no círculo trigonométrico, podemos ver o que acontece com a função seno em cada quadrante do plano cartesiano:

sinal da função seno

Função cosseno

Definição: A função cosseno é definida como a função \dpi{120} \textnormal{f}: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} , que associa a cada número real \dpi{120} \textnormal{x}, o seu cosseno. \dpi{120} \textnormal{f(x) = cos(x)}

Domínio: O domínio da função cosseno é o conjunto dos número reais.

\dpi{120} \textnormal{D}=\mathbb{R}

Imagem: A imagem da função cosseno é o intervalo [-1, 1], ou seja, \dpi{120} -1 \leq \textnormal{cos(x)}\leq 1 .

\dpi{120} \textnormal{Im}=[-1,1]

Paridade: A função \dpi{120} \textnormal{f(x) = cos(x)} é uma função par, pois \dpi{120} \textnormal{ cos(-x)= cos(x)}.

Período: O período da função cosseno é \dpi{120} 2 \pi, ou seja, é uma volta completa no círculo trigonométrico.

Gráfico da função cosseno

Considerando apenas os valores de x entre 0 e \dpi{120} 2 \pi, que é o período da função, o gráfico da função \dpi{120} \textnormal{f(x) = cos(x)} é:

grafico função cosseno
Fonte: Livro de Matemática para o Ensino Médio, Dante Luiz Roberto, 2.ed. 2013.

Essa curva é chamada de cossenóide.

Sinal da função cosseno:

  • Positiva (+) de 0 a \dpi{120} \frac{\pi}{2};
  • Negativa () de \dpi{120} \frac{\pi}{2} a \dpi{120} \frac{3\pi}{2};
  • Positiva (+) de \dpi{120} \frac{3\pi}{2} a 2\dpi{120} \pi.

Comportamento da função cosseno:

  • Decrescente de () de 0 a \dpi{120} \pi;
  • Crescente () de \dpi{120} \pi a 2\dpi{120} \pi.

Projetando essas informações no círculo trigonométrico, podemos ver o que acontece com a função cosseno em cada quadrante do plano cartesiano:

sinal função cosseno

Função tangente

Definição: A função tangente é definida como a função f que associa a tangente de cada número real \dpi{120} \textnormal{x}, com \dpi{120} \textnormal{x}\neq \pi/2 + k\pi, k \ \epsilon \ \mathbb{Z}.

\dpi{120} \textnormal{f(x) = tan(x)}

Domínio: O domínio da função tangente é o conjunto:

\dpi{120} \textnormal{D} = \{ \mathbb{R}| \textnormal{x}\neq \pi/2 + k\pi, k \ \epsilon \ \mathbb{Z} \}

Imagem: A imagem da função tangente é conjunto dos números reais.

\dpi{120} \textnormal{Im}=\mathbb{R}

Paridade: A função \dpi{120} \textnormal{f(x) = tan(x)} é uma função ímpar, pois \dpi{120} \textnormal{ tan(-x)= - tan(x)}.

Período: O período da função tangente é \dpi{120} \pi, ou seja, é metade da volta no círculo trigonométrico.

Gráfico da função tangente:gráfico da tangente

Cada curva é chamada de tangentóide.

Sinal da função tangente:

  • Positiva (+) de 0 a \dpi{120} \frac{\pi}{2};
  • Negativa () de \dpi{120} \frac{\pi}{2} a \dpi{120} \pi.
  • Positiva (+) de \dpi{120} \pi a \dpi{120} \frac{3\pi}{2};
  • Negativa () de \dpi{120} \frac{3\pi}{2} a 2\dpi{120} \pi.

Comportamento da função tangente:

  • Crescente () de 0 a 2\dpi{120} \pi, ou seja, em todo o círculo trigonométrico.

Projetando essas informações no círculo trigonométrico, podemos ver o que acontece com a função tangente em cada quadrante do plano cartesiano:

sinal da função tangente

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