Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo

Confira as fórmulas para calcular a soma dos ângulos de um polígono convexo. Entenda essas fórmulas e veja exemplos!

Os polígonos convexos são aqueles que não possuem concavidade. Para perceber se um polígono é ou não convexo, devemos observar se qualquer segmento de reta com extremidades na figura não passa pela região externa.

Polígono convexo e não convexo

Nos polígonos convexos, existem fórmulas que permitem determinar a soma dos ângulos internos e externos. Confira!

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

A fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é:

\dpi{120} \mathbf{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}}

Demonstração:

Se observarmos, veremos que todo polígono convexo pode ser dividido em uma certa quantidade de triângulos. Veja alguns exemplos:

Polígonos

Então, lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°, podemos ver que a soma dos ângulos internos nessas figuras acima será dada pela número de triângulos que a figura pôde ser dividida vezes 180°:

  • Quadrilátero: 2 triângulos ⇒ \dpi{120} \mathrm{S_i = 2\cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}}
  • Pentágono: 3 triângulos   ⇒  \dpi{120} \mathrm{S_i = 3\cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}}
  • Hexágono: 4 triângulos    ⇒  \dpi{120} \mathrm{S_i = 4\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}}

Então, para obter uma fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, só precisamos saber, de modo geral, em quantos triângulos um polígono convexo pode ser dividido.

Se observarmos, há uma relação entre essa quantidade e o número de lados das figuras. O número de triângulos é igual ao número de lados da figura menos 2, ou seja:

\dpi{120} \mathrm{Total \, de \, tri\hat{a}ngulos =n - 2}

  • Quadrilátero: 4 lados ⇒ n – 2 = 4 – 2 =
  • Pentágono: 5 lados   ⇒ n – 2 = 5 – 2 = 3
  • Hexágono: 6 lados    ⇒ n – 2 = 6 – 2 = 4

Assim, de forma geral, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada por:\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }

Que é a fórmula que queríamos demonstrar.

Exemplo:

Determine a soma dos ângulos internos de um icoságono convexo.

Um icoságono é um polígono de 20 lados, ou seja, n = 20. Vamos substituir esse valor na fórmula:

\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }

\dpi{120} \mathrm{S_i = (20-2)\cdot 180^{\circ} }

\dpi{120} \mathrm{S_i = 18\cdot 180^{\circ} }

\dpi{120} \mathrm{S_i = 3240^{\circ} }

Portanto, a soma dos ângulos internos de um icoságono convexo é igual a 3240°.

Soma dos ângulos externos de um polígono

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°, ou seja:

\dpi{120} \mathbf{S_e = 360^{\circ}}

Demonstração:

Vamos demonstrar com exemplos que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo não depende da quantidade de lados da figura e é sempre igual a 360°.

Quadrilátero:

QuadriláteroObserve que cada ângulo interno forma, com o ângulo externo, um ângulo de 180°. Assim, como são quatro vértices, a soma de todos os ângulos é dada por 4 . 180° = 720°.

Ou seja:  \dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 720^{\circ}}

Logo:

\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - S_i}

Uma vez que \dpi{120} \mathrm{S_i = 360^{\circ}}, então:

\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - 360^{\circ} = 360^{\circ} }

Pentágono:

No pentágono, temos 5 vértices, assim a soma de todos os ângulos é dada por 5 . 180° = 900°. Logo: \dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 900^{\circ}}. Então: \dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - S_i}. Uma vez que \dpi{120} \mathrm{S_i = 540^{\circ}}, então: \dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - 540^{\circ} = 360^{\circ} }.

Hexágono:

No hexágono, temos 6 vértices, assim a soma de todos os ângulos é dada por 6 . 180° = 1080°. Logo: \dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1080^{\circ}}. Então: \dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - S_i}. Uma vez que \dpi{120} \mathrm{S_i = 710^{\circ}}, então: \dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - 720^{\circ} = 360^{\circ} }.

Como você pode ver, em todos os três exemplos, a soma dos ângulos externos, \dpi{120} \mathrm{S_e} , resultou em 360°.

Exemplo:

A soma dos ângulos internos e externos de um polígono é igual a 1800°. Qual é esse polígono?

Temos:  \dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1800^{\circ}}. Sabendo que em qualquer polígono \dpi{120} \mathrm{S_e = 360^{\circ}}, então, temos:

\dpi{120} \mathrm{S_i + 360^{\circ} = 1800^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{S_i = 1800^{\circ} - 360 ^{\circ} }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{S_i = 1440 ^{\circ} }

Logo, nos resta saber qual polígono tem a soma dos ângulos internos igual a 1440°.

\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{1440^{\circ} = (n-2)\cdot 180^{\circ} }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{1440^{\circ} = 180^{\circ}n - 360 ^{\circ}}

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{1440^{\circ} + 360 ^{\circ} = 180^{\circ}n }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{1800^{\circ} = 180^{\circ}n }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{n= 1800^{\circ} /180^{\circ} }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{n= 10 }

Resolvendo essa equação, podemos ver que n = 10. Logo, o polígono procurado é o decágono.

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