Diagonais de um polígono

Saiba o que são as diagonais de um polígono e qual a fórmula para determinar o número de diagonais de um polígono.

Inicialmente, vamos lembrar que um polígono é uma figura geométrica plana formada por uma linha fechada que não possui curvatura, sendo determinada apenas por segmentos de reta.

Cada um dos segmentos de reta de um polígono é chamado de lados, os pontos de encontro entre os lados são chamados de vértices e cada ligamento entre um vértice e outro, passando pelo meio da figura é chamado de diagonal.

Diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que une dois vértices não consecutivos.
Diagonais de um polígono
Diagonais de polígonos representadas por segmentos coloridos.

Devemos ressaltar que, para ser diagonal, os vértices não podem ser consecutivos, pois o ligamento entre vértices consecutivos determina um lado do polígono e não uma digonal.

Além disso, apesar do número de diagonais não coincidir com o número de lados do polígono, quanto mais lados a figura tem, mais diagonais ela vai ter também.

Desse modo, em polígonos com muitos lados torna-se difícil determinar o número de diagonais contando uma por uma. Felizmente, temos uma fórmula para facilitar esse cálculo.

Fórmula do número de diagonais de um polígono

A fórmula para determinar o número de diagonais de um polígono é dada por:

\dpi{150} \mathbf{D = \frac{n . (n-3)}{2}}

Onde:

D: número de diagonais;

n: número de lados do polígono.

Observe que para aplicar a fórmula tudo o que precisamos saber é o número de lados do polígono.

Exemplo: Quantas diagonais possui um dodecágono?

Um dodecágono tem 12 lados, ou seja, n = 12. Aplicando a fórmula:

\dpi{120} \mathbf{D = \frac{12 . (12-3)}{2}} = \mathbf{\frac{12 . (9)}{2} = \frac{108}{2} = 54}

Logo, o dodecágono possui 54 diagonais.

Veja mais alguns exemplos do número de diagonais D para outros polígonos. Sugestão: utilize a fórmula para chegar nesses valores.

Calcular o número de diagonais do polígono

Número de lados de um polígono a partir das diagonais

Para saber quantos lados tem um polígono dado o seu número de diagonais, devemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da seguinte equação do 2° grau:

\dpi{120} \mathbf{n^2 - 3n - 2d = 0}

Onde:

n: número de lados

d: número de diagonais

Exemplo: Quantos lados tem um polígono com 104 diagonais?

Como d = 104, temos:

\dpi{120} \mathrm{n^2 - 3n - 2.104 = 0}

\dpi{120} \mathrm{n^2 - 3n - 208 = 0}

Calculando o discriminante:

\dpi{120} \Delta = (-3)^2 - 4. 1 . (-208) = 841

Calculando o valor de n:

\dpi{120} \mathrm{n }= \frac{3 \pm \sqrt{841}}{2}

Obtemos \dpi{120} \mathrm{n}_1 = 16 e \dpi{120} \mathrm{n}_2 = - 13.

Como o número de lados não pode ser um valor negativo, então, o número de lados desse polígono é 16.

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