Soma dos termos de uma PA

Conheça a fórmula para calcular a soma dos termos de uma Progressão Aritmética, veja a demonstração da fórmula e aprenda a calcular.

A Progressão Aritmética (PA) é um sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a um mesmo valor, uma constante r.

Por exemplo, (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) é uma PA de razão r = 2.

Esse tipo de sequência (PA) é muito comum e muitas vezes podemos querer determinar a soma de todos os termos da sequência. No exemplo acima, a soma é dada por 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.

Contudo, quando a PA possui muitos termos ou quando nem todos os termos são conhecidos, torna-se mais difícil obter essa soma sem o uso de uma fórmula. Por isso, confira a fórmula da soma dos termos de uma PA.

Fórmula da soma dos termos de uma PA

A soma dos termos de uma Progressão Aritmética pode ser determinada conhecendo-se apenas o primeiro e o último termo da sequência, a partir da seguinte fórmula:

\dpi{120} \small \mathbf{S_n = \frac{n.(a_1+a_n)}{2}}

Em que:

\dpi{120} \mathbf{n}: quantidade de termos da PA;
\dpi{120} \mathbf{a_1}: é o primeiro termo da PA;
\dpi{120} \mathbf{a_n}: é o último termo da PA.

Demonstração:

Na demonstração de que a fórmula apresentada permite realmente calcular a soma dos n termos de uma PA, devemos considerar uma propriedade muito importante da PA:

Propriedades de uma PA: a soma de dois termos que estão a uma mesma distância do centro de uma PA finita é sempre o mesmo valor, isto é, constante.

Para compreender como isso funciona, na prática, considere a PA do exemplo inicial (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 1 + 15 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 3 + 13 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 5 + 11 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 7 + 9 = 16

Agora, veja que 16 + 16 + 16 + 16 = 4 x 16 = 64, que é a soma dos termos dessa PA. Além disso:

  • O número 16 pode ser obtido apenas através do primeiro e último termo 1+ 15 = 16.
  • O número 16 foi somado 4 vezes, que corresponde a metade do número de termos da sequência (8/2 = 4).

Isso que aconteceu não é uma coincidência e vale para qualquer PA.

Em qualquer PA, a soma dos termos equidistantes será sempre um mesmo valor, podendo ser obtida através de (\dpi{120} \small \mathrm{a_1+ a_n}) e como sempre são somados de dois em dois valores, em uma sequência de \dpi{120} \small \mathrm{n} termos, haverá (\dpi{120} \small \mathrm{a_1+ a_n}) um total de \dpi{120} \small \mathrm{\frac{n}{2}} vezes.

Daí, obtemos a fórmula:

\dpi{120} \small \mathbf{S_n = \frac{n}{2}.(a_1+a_n)=\frac{n.(a_1+a_n)}{2}}

Exemplo:

Calcule a soma termos da PA (-10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60).

\dpi{120} \small \mathrm{S_{15} =\frac{15.(-10+60)}{2} = \frac{15\cdot 50}{2} = \frac{750}{2}= 375}

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