Teorema de Laplace
O teorema de Laplace permite obter o determinante de matrizes de ordem 4 ou mais. Entenda como utilizar esse teorema, vejas exemplos e tire todas as suas dúvidas sobre esse assunto!
O teorema de Laplace é um teorema que possibilita calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem qualquer.
No entanto, para matrizes de ordem 2 ou 3, outros métodos mais simples podem ser aplicados para o cálculo do determinante, o que faz do teorema de Laplace um método mais usual para matrizes de ordem maior ou igual a 4.
Teorema de Laplace
No teorema de Laplace, devemos escolher uma das linhas ou uma das colunas da matriz.
Escolhida a linha ou coluna, o teorema nos diz que o determinante da matriz é igual à soma dos produtos de cada elemento da linha ou coluna pelo seu cofator .
Em que é chamado de cofator do elemento e é o determinante da matriz calculado quando eliminamos a linha e a coluna .
Observe que se:
- é um número par ⇒
- é um número ímpar ⇒
Como utilizar o teorema de Laplace
Para mostrar como aplicar o teorema de Laplace, vamos considerar, por simplicidade, uma matriz de ordem 3.
Supondo que escolhemos a 1ª linha da matriz:
Então, pelo teorema de Laplace, temos que:
Como calcular os cofatores ?
- → 1 + 1 = 2 → número par ⇒
- → 1 + 2 = 3 → número ímpar ⇒
- → 1 + 3 = 4 → número par ⇒
Portanto, o determinante de A é dado por:
Como calcular ?
→ eliminamos a linha 1 e coluna 1 e calculamos o determinante de uma matriz de ordem 2:
⇒
→ eliminamos a linha 1 e coluna 2 e calculamos o determinante de uma matriz de ordem 2:
⇒
→ eliminamos a linha 1 e coluna 3 e calculamos o determinante de uma matriz de ordem 2:
⇒
Exemplo do teorema de Laplace
Vamos calcular o determinante da matriz A abaixo, utilizando o teorema de Laplace.
Em geral, é preferível escolher linhas ou colunas com elementos nulos (zero), para facilitar os cálculos.
Contudo, na matriz A acima não temos elementos nulos e vamos escolher a linha 1.
Desse modo:
Vamos calcular :
Portanto, temos que:
Teorema de Laplace para matriz de ordem 4
Já vimos como calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 pelo teorema de Laplace. E as matrizes de ordem 4?
Para aplicar o teorema de Laplace em matrizes de ordem 4, o procedimento é bem semelhante. A diferença é que vamos ter que calcular os cofatores associados aos quatro elementos da linha ou coluna escolhida.
Além disso, quando eliminarmos a linha e a coluna , vamos ter uma matriz de ordem 3. Nesse caso, os elementos podem ser calculados pela Regra de Sarrus.
Veja como calcular o determinante de matrizes de ordem 4 ou superior:
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