Lista de exercícios de fatoração

Existem algumas técnicas de fatoração de polinômios que nos permitem escrevê-los como uma multiplicação de dois ou  mais polinômios.

Para aprender como colocar um termo em evidência, fazer agrupamento, escrever como trinômio quadrado perfeito e muitos outros tipos de produtos notáveis, confira uma lista de exercícios resolvidos de faturação que preparamos.

Lista de exercícios de fatoração

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Questão 1. Escrevendo o fator comum em evidência, faça a fatoração dos polinômios:

a) 15x + 15y

b) x² + 9xy

c) ab – a³b³

d) a²z + abz

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Questão 2. Fatore cada um dos polinômios:

a) x² – xy – x

b) 24x³ – 8x² – 56x³

c) a.(x + y) – b.(x + y)

d) b.(a – x) – c.(a – x)

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Questão 3. Usando as técnicas de agrupamento e de fator comum em evidência, fatore os seguintes polinômios:

a) a² + ab + ax + bx

b) bx² – 2by + 5x² – 10y

c) 2an + n -2am – m

d) ax – bx + cx + ay – by + cy

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Questão 4. Os polinômios abaixo apresentam diferenças de dois quadrados. Escreva cada um deles na forma fatorada.

a) a² – 64

b) (x – 4)² – 16

c) (y + 1)² – 25

d) x² – (x + y)²

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Questão 5. Fatore o seguinte polinômio escrevendo como uma multiplicação:

(a – b + 2)² – (a – b – 2)²

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Questão 6. Verifique se cada um dos trinômios abaixo representa um trinômio quadrado perfeito e, em seguida, faça a fatoração.

a) a² – 10ab + 25b²

b) x² – 8x + 25

c) 9x² – 6x + 1

d) 16a² + 24ab + 9b²

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Questão 7. Complete o polinômio abaixo para que seja um trinômio quadrado perfeito.

 x² + 4x

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Questão 8. Usando técnicas de fatoração, determine as raízes das equações:

a) x² – 9x = 0

b) x² – 64 = 0

c) y² – y = 0

d) x² – 1 = 0

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Resolução da questão 1

a) 15x + 15y = 15.(x + y)

b) x² + 9xy = x.(x + 9y)

c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)

d) a²z + abz = az.(a + b)

Resolução da questão 2

a) x² – xy – x = x.(x – y -1)

b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)

c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)

d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)

Resolução da questão 3

a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)

b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)

c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)

d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)

Resolução da questão 4

a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)

b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4) . ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)

c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5) . ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)

d) x² – (x + y)² = (x + (x + y)) . (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)

Resolução da questão 5

(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =

((a – b + 2) + (a – b – 2)) . ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =

(a – b + 2 + a – b – 2) . (a – b + 2 – a + b + 2) =

(2a – 2b) . (4) =

4.(2a – 2b)

Resolução da questão 6

a) a² – 10ab + 25b²

Primeiro, extraímos a raiz quadrada dos termos que elevados ao quadrado:

√a² = a

√25b² = 5b

Como 2 . a . 5b = 10ab   → termo restante do trinômio. Então, o polinômio é um trinômio quadrado perfeito.

Vamos fatorar:  a² – 10ab + 25b²  = (a – 5b)²

b) x² – 8x + 25

√x² = x

√25 = 5

2 . x . 5 = 10x → não corresponde ao termos restante que é 8x. Então, o polinômio não é um trinômio quadrado perfeito.

c) 9x² – 6x + 1

√9x² = 3x

√1 = 1

2 . 3x . 1 = 6x → termo restante do trinômio. Então, o polinômio é um trinômio quadrado perfeito.

Vamos fatorar:  9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²

d) 16a² + 24ab + 9b²

√16a² = 4a

√9b² = 3b

2 . 4a . 3b = 24ab → termo restante do trinômio. Então, o polinômio é um trinômio quadrado perfeito.

Vamos fatorar:  16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²

Resolução da questão 7

x² + 4x

Devemos escrever um trinômio quadrado perfeito da seguinte forma: x² + 2xy + y² = (x + y)²

Logo, precisamos descobrir o valor de y. Temos:

2xy = 4x

2y = 4

y = 4/2

y = 2

Assim, devemos acrescentar o termos y² = 2² = 4 no polinômio para que seja um trinômio quadrado perfeito:  x² + 4x + 4 = (x + 2)².

Resolução da questão 8

a) Colocando x em evidência:

x.(x – 9) = 0

Logo, x = 0 ou

x – 9 = 0 ⇒ x = 9

Raízes: 0 e 9

b) Temos uma diferença entre dois quadrados:

x² – 64 = 0

⇒ (x + 8).(x – 8) = 0

Ou seja, x + 8 = 0 ou x – 8 = 0.

x + 8 = 0 ⇒ x = -8

x – 8 = 0 ⇒ x = 8

Raízes: -8 e 8.

c) Colocando y em evidência:

y.(y – 1) = 0

Logo, y = 0 ou y – 1 = 0.

y – 1 = 0 ⇒ y = 1

Raízes: 0 e 1

d) Lembrando que 1 = 1², temos uma diferença entre dois quadrados:

x² – 1 = 0

⇒ (x + 1).(x – 1) = 0

Logo, x + 1 = 0 ou x – 1 = 0.

x + 1 = 0 ⇒ x = -1

x – 1 = 0 ⇒ x = 1

Raízes: – 1 e 1.

Veja também:

• Expressões algébricas
• Lista de exercícios de polígonos
• Lista de exercícios de regra de três
• Lista de exercícios de potenciação