Fatoração

Aprenda a fazer a fatoração de um número e de polinômios, por termo comum em evidência, agrupamento e uso dos produtos notáveis.

A fatoração está relacionada a escrever um número ou uma expressão algébrica em forma de multiplicações.

Fatorar um número significa escrever esse número como uma multiplicação de dois ou mais números.

Exemplo: Fatorar o número 20.

O número 20 pode ser escrito como 2 . 10 ou 4 . 5, ou seja, como o produto de dois outros números.

Existe, ainda, a fatoração em números primos. Nesse caso, os números da multiplicação devem ser números primos. Para o número 20, consiste em escrever 20 = 2 . 10, pois 2 e 10 são números primos.

Fatorar um polinômio significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.

Na fatoração de polinômios, existem algumas técnicas. Vamos ver algumas delas.

Fator comum em evidência

A fatoração pelo fator comum em evidência consiste em colocar em evidência um fator que aparece em todos os termos do polinômio.

Exemplos:

a) 2x + 2y

2x + 2y =  2.(x + y)

b) x² + xy

x² + xy = x . x + x . y = x.(x + y)

c) 6ax + 8ay

6ax + 8ay = 2.3.a.x + 2.4.a.y = 2a.(3a + 4y)

Agrupamento

Na fatoração por agrupamento, agrupamos os termos que possuem um fator em comum. Depois, colocamos o fator comum em evidência.

Exemplos:

a) 3x + 5x + 3y + 5y

3x + 5x + 3y + 5y = 3x + 3y + 5x + 5y = 3.(x + y) + 5.(x + y)

Observe que (x + y) aparece nos dois termos, então podemos colocá-lo em evidência também:

3.(x + y) + 5.(x + y) = (3 + 5) . (x + y) = 8.(x + y).

b) a² + ab + ax + bx

a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x.(a + b) = (a + x) . (a + b)

c) 3ax + 2b² + b²x + 6a

3ax + 2b² + b²x + 6a = 3a.(x + 2) + b².(2 + x) = (3a + b²) . (x + 2)

Diferença de dois quadrados

Na fatoração da diferença de dois quadrados, vamos utilizar um dos produtos notáveis:

x² – y² = (x + y).(x – y)

Exemplos:

a) x² – 36

x² – 36 = (x + 6).(x – 6)

Pois 36 = 6².

b) 81 – a²

81 – a² = (9 + a).(9 – a)

Pois 81 = 9².

c) n² -1

n² – 1 = n² – 1² = (n + 1).(n – 1)

Aqui, usamos o fato de que 1 = 1².

Trinômio do quadrado perfeito

Na fatoração do trinômio do quadrado perfeito, utilizamos os produtos notáveis do quadrado da soma ou da diferença entre dois termos:

x² + 2xy + y² = (x + y)²  e  x² – 2xy + y² = (x – y)²

Exemplos:

a) x² + 8xy + 16y²

+ 8xy + 16y²

  • √x² = x
  • √16y² = 4y

Multiplicando esses dois resultados por 2, obtemos o segundo termo: 2 . x . 4y = 8xy.

Então, x² + 8xy + 16y² = (x + 4y)².

b) a² – 10ab + 25b²

– 10ab + 25b²

  • √a² = a
  • √25b² = 5b

Multiplicando esses dois resultados por 2, obtemos o segundo termo: 2 . a . 5b = 10ab.

Então, a² 10ab + 25b² = (a 5b)².

Cubo perfeito

Na fatoração do cubo perfeito, também utilizamos produtos notáveis:

x³ + 3x²y + 3y²x + y³ = (x + y)³   e   x³ – 3x²y + 3y²x + y³ = (x – y)³

Exemplo: x³ + 6x² + 12x + 8

+ 6x² + 12x + 8

  • ³√x³ = x
  • ³√8 = 2

A partir desses resultados, podemos obter o segundo termo: 3. x² . 2 = 6x² e o terceiro termo: 3. x. 2² = 12x.

Então, x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³.

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