Arcos com mais de uma volta

No circulo trigonométrico, uma volta completa tem 360° ou 2π em radianos. Contudo, há arcos com mais de uma volta no circulo, e cujas medidas são, portanto, maiores que 360° (ou 2π).

Um arco de 390°, por exemplo, é um arco de mais de uma volta, ele corresponde a uma volta completa mais um arco de 30°, pois veja que 360° + 30° = 390°.

O arco de 30°, nesse caso, é chamado de extremidade do arco ou arco de 1ª volta ou, ainda, 1ª determinação positiva.

Como encontrar a extremidade do arco

Para determinar a extremidade do arco, dividimos por 360°. O quociente, inteiro, da divisão corresponde ao número de voltas no circulo e o resto da divisão, que será sempre um valor menor que 360°, corresponde à extremidade do arco.

Exemplo: 

Determine a extremidade do arco de 7328°.

-17568° |360°
– 720°      21
1-1368°
1– 360°
11—-8°

Portanto, o arco de 7328° corresponde a 21 voltas completas no circulo trigonométrico e sua extremidade é 8°.

Arcos côngruos

Os arcos côngruos são todos os arcos que possuem a mesma origem e a mesma extremidade.

Dados dois arcos, se queremos saber se eles côngruos, temos que determinar suas extremidades, como já aprendemos.

Exemplo:

Os ângulos abaixo são côngruos?

a) 1125° e 1845°

1125° : 360° = 3 e o resto da divisão é 45°.

1845° : 360° = 5 e o resto da divisão é 45°.

Ambos possuem como extremidade 45° e por isso são côngruos.

b) 1125° e 2538°

1125° : 360° = 3 e o resto da divisão é 45°.

2538° : 360° = 7 e o resto da divisão é 18°.

Não possuem a mesma extremidade e por isso não são côngruos.

Forma geral dos arcos côngruos

Dada um extremidade , podemos obter uma forma geral dos arcos côngruos, pois todos eles vão corresponder a uma certa quantidade k de voltas no circulo mais a extremidade .

Considerando como exemplo , veja que:

30° → nenhuma volta completa → 0. 360° + 30° = 30°

390° → uma volta completa mais 30° → 1. 360° + 30° = 390°

750°  → duas voltas completas mais 30° → 2. 360° + 30° = 750°

1110° → três voltas completas mais 30° → 3. 360° + 30° = 1110°

1470° →  quatro voltas completas mais 30°  → 4. 360° + 30° = 1470°

E assim por diante.

Logo, a forma geral dos arcos de extremidade 30° é:

360°. k + 30°

Também podemos expressar em radianos. Sendo 360° = 2π e 30° = π/6, temos:

2kπ + π/6

Para um valor qualquer de , a forma geral é:

Sendo k um número inteiro, correspondente ao número de voltas completas.

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