Cônicas

Conheça as figuras geométricas cônicas: elipse, parábola e hipérbole. Entenda como elas são formadas, equação e características.

Cônicas ou seções cônicas são figuras geométricas de duas dimensões, que são obtidas quando um cone duplo de revolução é cortado por um plano.

As cônicas podem ser elipses, parábolas ou hipérboles. A circunferência é um caso específico de elipse.

Seções cônicas
Seções cônicas.

Elipse

A elipse é definida como a figura geométrica formada por todos os pontos P(x, y) de um plano cuja distância de P até um ponto fixo \dpi{120} \mathrm{F_1} somada a distância de P até outro ponto fixo \dpi{120} \mathrm{F_2} é sempre a mesma.

Gráfico da elipse

Elementos da elipse

  • Centro: C(0,0);
  • Vértices: \dpi{120} \mathrm{A_1(-a,0), A_2(a,0), B_1(0,b), B_2(0,-b)};
  • Focos: \dpi{120} \mathrm{F_1(-c,0)} e \dpi{120} \mathrm{F_2(c,0)};
  • Eixo maior: \dpi{120} \mathrm{\overline{A_1A_2}} (segmento que liga os vértices \dpi{120} \mathrm{A_1 \: e\: A_2});
  • Eixo menor: \dpi{120} \mathrm{\overline{B_1B_2}} (segmento que liga os vértices \dpi{120} \mathrm{B_1 \: e\: B_2});
  • Excentricidade: \dpi{120} \mathrm{e = \frac{c}{a}} (medida de achatamento da elipse).

A excentricidade da elipse é um valor entre 0 e 1, e quanto mais próximo de 0, mais a elipse se torna menos achatada e mais próxima de uma circunferência. Dessa forma, a circunferência é um caso particular de elipse, quando e = 0.

Equação reduzida da elipse

A equação reduzida ou equação canônica da elipse de focos \dpi{120} \mathrm{F_1(-c,0)} e \dpi{120} \mathrm{F_2(c,0)} é:

\dpi{120} \mathrm{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}= 1}

em que \dpi{120} \mathrm{a^2 = b^2 + c^2}.

Parábola

A parábola é definida como a figura geométrica formada por todos os pontos P(x, y) de um plano cuja distância de P até um ponto fixo F é igual à distância de P a uma reta fixa, que é chamada de diretriz.

 

Gráfico da parábola

Elementos da parábola

  • Vértice: V(0,0);
  • Foco: F(p, 0);
  • Diretriz: reta d, com equação x = -p.

Equação reduzida da parábola

A equação reduzida ou equação canônica da parábola de foco \dpi{120} \mathrm{F(p,0)} e diretriz d correspondente a reta x = -p é:

\dpi{120} \mathrm{y^2 = 4 px}

De forma equivalente, a equação reduzida da parábola de foco \dpi{120} \mathrm{F(0,p)} e diretriz d correspondente a reta y = -p é:

\dpi{120} \mathrm{x^2 = 4 py}

A parábola y = x² é um caso particular quando p = 1/4.

Hipérbole

A hipérbole é definida como a figura geométrica formada por todos os pontos P(x, y) de um plano cujo módulo da diferença entre a distância de P até um ponto fixo \dpi{120} \mathrm{F_1} e a distância de P até outro ponto fixo \dpi{120} \mathrm{F_2} é sempre o mesmo.

Gráfico da hipérbole

Elementos da hipérbole

  • Centro: C(0,0);
  • Vértices: \dpi{120} \mathrm{A_1(-a,0)\, e \, A_2(a,0)};
  • Focos: \dpi{120} \mathrm{F_1(-c,0)} e \dpi{120} \mathrm{F_2(c,0)};
  • Assíntotas: \dpi{120} \mathrm{y = -\frac{b}{a}x} e \dpi{120} \mathrm{y = \frac{b}{a}x};
  • Excentricidade: \dpi{120} \mathrm{e = \frac{c}{a}} .

Equação reduzida da hipérbole

A equação reduzida ou equação canônica de uma hipérbole de focos \dpi{120} \mathrm{F_1(-c,0)} e \dpi{120} \mathrm{F_2(c,0)} é:

\dpi{120} \mathrm{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

em que \dpi{120} \mathrm{b^2 = c^2 - a^2} ou, de forma equivalente, \dpi{120} \mathrm{b = \sqrt{c^2 - a^2}}.

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